اگر منابع محدودی اعم از زمان، پول یا حتی فضای کاری در اختیار دارید، محاسبه‌ی چگونگی به حداکثر رساندن آنها، می‌تواند برای‌تان مفید باشد.

مثلا فرض کنید که در دفتر شرکت‌تان 50 متر مربع فضا دارید که باید به عنوان انبار شرکت از آن استفاده کنید. بودجه‌ای که در اختیار دارید 3 میلیون تومان است و با این بودجه، از میان کابینت‌های مختلف در انواع مدل‌ها و اندازه‌ها می‌توانید انتخاب کنید. حال چگونه در چارچوب بودجه‌ی اختصاص‌یافته‌ی خود، از فضایی که در اختیار دارید بهترین استفاده را می‌کنید؟

یا فرض کنید که سه کامیون برای تحویل کالا و 10 مقصد برای ارسال کالا در اختیار دارید. چگونه بهترین مسیر و زمان‌بندی برای این کامیون‌ها را برنامه ریزی می‌کنید؟

یا تصور کنید که با استفاده از مواد خام اولیه‌ی یکسان، روزانه سه محصول مختلف تولید می‌کنید. اما از آنجا که این محصولات، به مقدار متفاوتی از مواد نیاز دارند، تولید بعضی گران‌تر از بقیه تمام می‌شود. مقداری از مواد خام، فاسدشدنی هستند و باید سریعا استفاده شوند. برای به حداقل رساندن هزینه، از هر محصول چه مقدار باید تولید کنید؟ با چه ترکیبی، کمترین مقدار دورریز را خواهید داشت؟

شاید پرسش‌هایی مانند اینها خیلی پیچیده به نظر برسند. با این همه متغیر و محدودیت‌هایی که باید در نظر بگیرید، چگونه تصمیم می‌گیرید چه کنید؟ پاسخ در استفاده از برنامه‌ریزی خطی نهفته است.

برنامه‌ریزی خطی، تکنیکی محاسباتی است که بهترین روش را برای استفاده از منابع موجود تعیین می‌کند. مدیران برای تصمیم‌گیری درمورد بهترین استفاده‌ی ممکن از منابع محدودی اعم از پول، زمان، مواد یا ماشین‌آلات، از این فرآیند بهره می‌برند.

تکنیک برنامه‌ریزی خطی

برای اینکه بهتر متوجه برنامه‌ریزی خطی بشوید، کار را با یک مثال شروع می‌کنیم. فرض کنید که شرکت شما دو محصول تولید می‌کند، میز (T) و صندلی (C). ظرفیت واحد تولیدتان هم 525 ساعت در هفته است. برای تولید هر میز 5 ساعت زمان لازم است و هر صندلی هم در عرض 3 ساعت تولید می‌شود.

تقاضا برای صندلی نامحدود است و هر قدر بتوانید صندلی تولید کنید، مشتری‌ها می‌خرند. از سوی دیگر، میزها حداکثر 100 واحد در هفته فروش دارند.

تأمین‌کنندگان‌تان هم می‌توانند مواد خام مورد نیاز برای تولید تنها 75 صندلی را در هفته فراهم کنند. اما مواد خام مورد نیاز میزها، فراوان در دسترس هستند.

سود به ازای هر واحد یا سهم هر واحد عبارت است از 2500 تومان برای هر میز و 2000 تومان برای هر صندلی.

برای به حداکثر رساندن سودتان، چه تعداد میز و صندلی باید در هفته تولید کنید؟

گام اول: مسئله را در قالب ریاضی بیان کنید

میز را با T=Table و صندلی را با C=Chair نشان می‌دهیم.

برای به حداکثر رساندن سود باید حاصل این معادله را بیشینه کنیم.

2500T+2000C = سود

با توجه به محدودیت‌ها در ظرفیت‌، این معادله‌ها نیز باید برقرار باشند.

(محدودیت در ظرفیت) 5T + 3C ≤ 525
(محدودیت در فروش میز) T ≤ 100
(محدودیت در تأمین مواد اولیه‌ی صندلی‌ها) C ≤ 75

گام دوم: مسئله را با نمودار نشان دهید

وقتی دو متغیر (یا در مثال ما دو ترکیب محصول) دارید، می‌توانید برای نشان دادن راه‌حل، نمودار رسم کنید. نمودار ابزار فوق‌العاده‌ای برای درک کامل مسئله است. اگر تولید میز را روی محور x و تولید صندلی را روی محور y رسم کنید، نمودارتان حداکثر ظرفیت‌های تولید در همه‌ی ترکیب‌های ممکن از میز و صندلی را نشان می‌دهد.

• خط ظرفیت را بکشید:
  نقاط انتهاییِ این خط ظرفیت، حداکثر تعداد میز و صندلی‌هایی هستند که می‌توانند تولید شوند.
  شما می‌توانید اینها را تولید کنید:

0 صندلی و 105 میز (525/5) : نقطه‌ی (105,0)
یا
0 میز و 175 صندلی (525/3) : نقطه‌ی (175, 0)

خط ظرفیت، این دو نقطه را به هم متصل می‌کند.

• برای همه‌ی مقادیر C (صندلی‌ها)، خط محدودیت فروش برای میز T=100 را بکشید.
• برای همه‌ی مقادیر T، خط محدودیت مواد خام برای صندلی C=75 را بکشید.

این سه خط محدودیت در نمودار زیر نشان داده شده‌اند.

منطقه‌ای که با سه خط محدودیت و محورهای x و y محدود شده است، مجموعه‌‌ی ترکیب‌های ممکن از تولید میز و صندلی است. هر چیزی که خارج از این مرزها باشد، با توجه به این محدودیت‌ها و فرض اینکه تولید میز و صندلی بیشتر از صفر است، امکان‌پذیر نیست.

ترکیب بهینه، جایی در امتداد این مرز بیرونی خواهد بود. هیچ جایی درون مرز، از همه‌ی ظرفیت ممکن استفاده نمی‌کند.

گام سوم: ارزش بهینه را محاسبه کنید

حال چگونه می‌فهمید که نقطه‌ی بهینه در این محدوده کجا قرار دارد؟ این نقطه در یکی از چندین نقاطِ تقاطعِ خطوط محدودیت است. در این مثال، چهار نقطه‌ی تقاطع وجود دارد (w، x، y و z). برای تعیین دقیق نقطه‌ی بهینه، باید تک تک این نقاط را بررسی کنید. از آنجا که می‌دانید نقاط w و z نشان‌دهنده‌ی دورترین نقاط در خطوط محدودیت هستند، می‌توانید از محاسبات زیر استفاده کنید:

• حداکثر سود در نقطه‌ی w

T = 0, C = 75

2500T+2000C = حداکثر سود

150000=(2000x75) + (2500x0) =سود

• حداکثر سود در نقطه‌ی x

5ُT+3C=525
C = 75

مقدار C را در معادله‌ی اول عوض و برای T حل کنید:

525 = (5T+(3x75

300 =5T
60 =T

پس در نقطه‌ی x، تولید عبارت است از 60 میز و 75 صندلی

2500T+2000C = حداکثر سود

(2000x75)+(2500x60)=سود

150000+150000= سود
300000 = سود

• حداکثر سود در نقطه‌ی y

5T + 3C = 525

T = 100

در معادله‌ی اول، مقدار T را 100 در نظر بگیرید:

525 = (3C+(5x100
3C = 25
(این رقم به سمت پایین گرد می‌شود چرا که نمی‌توانید قسمتی از صندلی را بفروشید) C = 8
2500T+2000C = حداکثر سود

(2000x8)+(2500x100) = سود

266000=250000+16000 = سود

• حداکثر سود در نقطه‌ی z

T = 100, C = 0
2500T+2000C = حداکثر سود

250000=(2500x100)+(2000x0 = سود

بر پایه‌ی این محاسبات، تولید بهینه‌ی میز و صندلی در نقطه‌ی x است، یعنی 60 میز و 75 صندلی.

این مثال ساده‌ای از برنامه‌ریزی خطی است. در واقعیت، بیشتر مسائل تجاری آن‌قدر متغیر و محدودیت دارند که نمی‌توانید با محاسبات دستی به راه‌حل برسید. نرم‌افزارهای برنامه‌ریزی خطی می‌توانند معادلات را سریع و به آسانی حل کنند و اطلاعات مفید فراوانی را درمورد نقاط مختلف در مجموعه‌ی ممکن ارائه بدهند. می‌توانید از سناریوهای «چه می‌شود اگر» هم برای تعیین مسائلی همچون «چه ماشین‌آلات دیگری باید خریداری شود؟» یا اینکه «آیا باید شیفت اضافه‌ای نیز برای کارگران در نظر بگیرید یا نه؟»، استفاده کنید.