ماشینی‌کردن ریاضیات؛ معنا زمین بازی را به هم ریخت

 

پس از روش صوری کانت در تبیین ریاضیات، می‌شد مطمئن بود اگر واحد‌های ریاضی را با یکسری ضابطه به کامپیوتر‌ها بدهیم، آن‌ها هم می‌توانند مثل بهترین ریاضی‌دا‌ن‌ها آن‌ها را به هزاران صورت تجزیه و ترکیب کنند. اما کورت گودل عنصری را وارد این معادله کرد که زمین بازی را به هم می‌ریخت: معنا.

 

آیا اگر پای معنا، و درنتیجه ناتمامیت، به اعمال ریاضی باز شود، آیا باز هم می‌توان از مکانیکی‌بودن آن‌ها حرف زد؟ ماشین‌ها معنا نمی‌فهمند و همین ما را مجبور می‌کند به سادگیِ تبیین سنتی از ریاضیات قانع نشویم.

ریاضیات حاصل اعمال خلاقانۀ تخیل انسانی است؛ باوجوداین، خلاقیت ریاضی‌دان را حقایق بیرونی محدود ساخته‌اند. این در اختیار ریاضی‌دان نیست که تعدادی نامتناهی عدد اول وجود داشته باشد یا متناهی؛ یا در حقیقت، فارغ از خواست ریاضی‌دان، این تعداد یا متناهی است یا نامتناهی و به‌واسطۀ قضایای اقلیدس می‌دانیم که نامتناهی است.

دربارۀ اثبات‌پذیری1 بسیار می‌دانیم. مثلاً، بسیاری از اثبات‌های ریاضی می‌توانند مکانیکی2 شوند، یعنی می‌شود درستی آن‌ها را با استفاده از رایانه سنجید. در واقع می‌توان فرآیندی کاملاً مکانیکی را در نظر گرفت که در آن فرد می‌تواند مثلاً یک ماشین تورینگ3 بسازد که هر گمانه‌ای4 را به‌عنوان ورودی بپذیرد و پاسخ بلی یا خیر، یا صادق یا کاذب قطعی، در مدت زمانی متناهی دریافت کند.

یک راه بیان قضایای ناتمامیت5 (1931) ریاضی‌دان اتریشی، کورت گودل، این است که بگوییم او ثابت کرده امکان چنین ریاضیاتِ کاملاً مکانیکی‌ای هیچ‌گاه تحقق بیرونی نخواهد یافت.

فیلسوفان گاهی قضایای ناتمامیت را این‌گونه تفسیر کرده‌اند که امکان برداشتی مطلق یا فراگیر از صدق را در ریاضیات زیر سؤال می‌برد. اما این موضع خود گودل نبود. با گفتن اینکه «قضایای من تنها نشان می‌دهند که مکانیکی ساختن ریاضیات ... ناممکن است» (تأکید از من است)، گودل این دیدگاه را بیان می‌کرد که هر چند فعالیت ریاضی‌دان را نمی‌توان به مجموعه‌ای از قوانین محاسباتی فروکاست، ریاضیات همچنان تصمیم‌پذیر6 است، یعنی انسان‌ها می‌توانند صدق هر گزارۀ ریاضی را، حداقل در اساس، تأیید یا رد کنند.

 

این اصول ظاهراً مغایر، یعنی تصمیم‌پذیری از یک طرف و این ایده که ریاضیات را نمی‌توان مکانیکی کرد از طرف دیگر، با این باور گودل با هم سازگار شده‌اند که ذهن می‌تواند از مفاهیم معناشناختی‌ای نظیر صدق و معنا استفاده کند که از قوانین محاسباتی متناهی فراتر می‌روند.

 

همان‌طور که گودل در 1958 نوشت، «در اثبات‌های ریاضی، ما از شهود‌هایی به درون آن برساخت‌های ذهنی استفاده می‌کنیم که نه از ویژگی‌های ترکیبی (فضا-زمانی) ... اثبات‌ها، بلکه صرفاً از معنای آن‌ها استفاده می‌کنند».

این‌ها در ظاهر امر مدعیاتی فلسفی هستند و در واقع بخشی از دستاورد گودل در اثبات قضایای ناتمامیت این بوده که تصویری خردگرایانه7 یا لایبنیتسی از فلسفه به نمایش بگذارد که در آن ادعا‌های فلسفی باید با روش‌های دقیق و ریاضی تأیید (یا رد) شوند.

 

این ادعا در تضاد با دریافت معمول از فلسفه است. جالب است که گودل در نوشته‌های منتشرشدۀ اولیۀ خود به نفع چیزی که بعد‌ها خوش‌بینی خردگرایانه8 نامید استدلال نمی‌کند، هرچند بخش زیادی از کار آیندۀ او به چنین استدلال‌هایی اختصاص خواهد یافت.

اشاره به این نکته مهم است که این پرسشِ مهم و حیاتی که آیا ریاضیات می‌تواند به‌طور کامل و صوری در نظام صوری متناهی‌واری9 بازسازی شود یا خیر سؤال گودل نبود. این پرسش در اوایل قرن بیستم و به‌عنوان بخشی از چیزی مطرح شد که بعداً به نام «برنامۀ هیلبرت» شناخته شد، پروژۀ چندوجهی ریاضی و فلسفی‌ای که داوید هیلبرت و مکتب او دنبال می‌کردند.

 

هدف اصلی این برنامه این بود که دغدغه‌ها دربارۀ سازگاری ریاضیات را فرونشاند، شک‌هایی که در پاسخ به تعدادی پارادکس و ناسازگاری‌های منطقی به وجود آمده بود، چیز‌هایی که هیلبرت آن‌ها را فاجعه می‌خواند و در جریان پژوهش‌هایی در مبانی ریاضیات به وجود آمده بود.

 

مثلاً همان‌طور که برتراند راسل نشان داد، تلاش فرگه برای صورت‌بندی ریاضیات برای اولین بار ناسازگار بود. همچنین نامتناهی مهتر (مرتبۀ بالاتر) 10 که گئورگ کانتور در دهۀ 1870 کشف کرده بود باعث به‌وجودآمدن مباحث بسیاری دربارۀ این شد که آیا استفاده از مفاهیم نامتناهی‌وار در ریاضیات مشروع است یا نه.

 

ریاضیات همیشه با مجموعه‌های نامتناهی کار کرده بود، اما کانتور سلسله‌مراتبی فرامتناهی از اعداد نامتناهی کشف کرد که بسیار فراتر از چیزی می‌رفت که تا آن زمان ریاضی‌دانان از آن استفاده می‌کردند.

ایدۀ برنامۀ هیلبرت این بود که با ارائۀ بازسازی‌ای متناهی‌وار از ریاضیات می‌توان دردسر سازگاری را از کلیت ریاضیات به تعداد محدودی از اصول موضوعۀ11 بدیهی به همراه یک قاعدۀ اثبات بسیار رضایت‌بخش منتقل کرد. ازآن‌جاکه بازسازی متناهی‌وار بود، فرد را قادر می‌ساخت که نشان دهد هر ارجاعی به اشیای نامتناهی، که در مسیر به وجود بیایند، قابل حذف است.

 

یعنی، نشان داده شود که تنها یک صورت کوتاه‌شده برای ارجاع به متناهی است: آن‌طور که ریاضی‌دان‌های آن موقع می‌گفتند، تنها یک طریق‌الکلام12. مطلوب نهایی اثباتی برای سازگاری با ابزاری متناهی بود.

در بحث‌های فلسفی برخی، درست یا غلط، برنامۀ هیلبرت را با صورت‌گرایی13 در رابطه دانستند: این ایده که ریاضیات می‌تواند به صورتی خالی-از-محتوا بازسازی شود، یا اگر بخواهیم صورت قوی‌تر را بیان کنیم، اینکه ریاضیات چیزی نیست جز «بازی صوری با نمادها».

 

برخی دیگر این ایده را پذیرفتند که مکتب هیلبرت متعهد به این ایده بود که ریاضیات علی‌الاصول توصیفی است و لذا دارای محتوا: تنها درستی روش‌هایش را باید صوری و متناهی‌وار نشان داد.

قضیۀ اول ناتمامیت از این قرار است: به ازای هر نظام اصل موضوعی که هم سازگار است و هم به‌لحاظ محاسباتی به اندازۀ کافی قوی، به این معنا که می‌تواند دنباله‌های متناهی را کدگذاری کند (پایین را ببینید)، جمله‌ای در زبان سیستم هست که صادق است، اما درستی‌اش از اصول موضوعۀ سیستم قابل‌اثبات نیست.

به زبان ساده، مثلاً، سیستمی را با تعداد متناهی الفبای ثابت به همراه تعدادی اصل موضوعۀ ساده در نظر بگیرید که رفتار اعداد طبیعی (..،1،2،3) را توصیف می‌کند. فراگیرترین این سیستم‌ها همانی است که به نام حساب پئانو شناخته می‌شود که جوزپه پئانو در آغاز قرن بیستم آن را ابداع کرد.

 

این ابداع بخشی از جنبشی در ریاضیات قرن نوزدهم به‌سوی استاندارد‌های تجدید شدۀ دقت و انسجام بود، جنبشی که قداستی به برنامۀ هیلبرت بخشیده بود. اصول موضوعۀ حساب پئانو شاملِ مثلاً اصل تبدیل‌پذیری جمع14 است که بیان می‌کند مهم نیست به چه ترتیبی دو عدد با هم جمع بسته می‌شوند و در نهایت نتیجه یکسان است.

 

همین‌طور شامل یگانه قاعدۀ اثبات به نام وضع مقدم15: «اگر الف. مستلزم ب. باشد، و اگر الف، آنگاه ب». قضیۀ اول ناتمامیت به ما می‌گوید که اگر حساب پئانو سازگار باشد، می‌توان گزاره‌هایی را صورت‌بندی کرد که هرچند صادق‌اند، نمی‌توانند بر اساس این نظام اثبات یا رد شوند. این گزاره‌ها که هم صادق‌اند و هم غیرقابل‌اثبات یا رد گزاره‌های مستقل16 نامیده می‌شوند و اهمیتی اساسی در اثبات‌های گودل دارند.

 

قضیۀ دوم ناتمامیت بیان می‌کند که خود گزارۀ سازگاری در میان این گزاره‌های مستقل است؛ یعنی، این گزاره که «0=1 قابل اثبات نیست» یا «برخی از گزاره‌ها قابل اثبات نیستند». (توجه کنید که اگر سیستم ناسازگار باشد هر چیزی در آن قابل اثبات است و بنابراین اگر سیستمی سازگار باشد گزاره‌ای باید باشد که در آن قابل اثبات نیست). این حقیقت که ویژگی‌ای مانند سازگاری می‌تواند درون سیستم بیان شود خود عجیب بود.

 

همراه با اثبات قضیۀ نقطه ثابت17، ابزاری برای ساده‌کردن خودارجاعی18، این دقیقاً کاری است که دو قضیۀ ناتمامیت انجام می‌دهند: نشان‌دادن اینکه سیستمی نظیر حساب پئانو قابلیت این را دارد که در درون خود گزاره‌هایی را صورت‌بندی کند دربارۀ اینکه در این سیستم چه گزاره‌هایی قابل اثبات و چه گزاره‌هایی غیرقابل اثبات‌اند.

قضایای ناتمامیت ناممکن‌بودن دست‌یابی به اهداف ریاضی برنامۀ هیلبرت را نشان دادند: هر بازسازی متناهی‌وار عمل ریاضی ناتمام خواهد بود، زیرا گزاره‌های مستقل اثبات‌نشده باقی می‌مانند. علاوه‌براین، اثبات متناهی سازگاری ممکن نیست.

قضایای ناتمامیت به‌خاطر چیزی که نشان می‌دهند درخشان‌اند، اما اثبات آن‌ها هم خارق‌العاده است. اثبات هر دو قضیه مبتنی است بر مفهوم یک کدگذاری، یا به زبان فنی حسابی‌سازی19 نحو، که مکانیسمی است که به‌وسیلۀ آن گزاره‌ای در زبانی ثابت را می‌توان با یک عدد نشان داد.

 

مثلاً، اگر نماد‌های «∀»، «x»، «(»، «=» و «)» را مطابق با اعداد 6 و 2،3،4،5 بدانیم، آن‌گاه فرمول x. (x = x) ∀ را در نظر بگیرید که بیان می‌کند هر چیزی خوداین‌همان است. اما این فرمول تنها زنجیرۀ نماد‌هایی است که در بالا ذکر شد و می‌توان آن را با زنجیرۀ یکی دانست که به نوبۀ خود می‌تواند با یک عدد نشان داده شود.

 

راه‌های مختلفی برای انجام این کار هست. یک کدگذاری رایج این است که حاصل‌ضرب اعداد اولی را به این زنجیره نسبت دهیم که به توان عدد گودل این فرمول رسیده‌اند. بنابراین، 22335473115133176 عدد گودل فرمول x. (x = x) ∀ است؛ بنابراین گزاره‌ها را می‌توان با عدد نشان داد.

 

به‌طور خاص، این مسئله شامل گزاره‌هایی دربارۀ نحو خود سیستم هم می‌شود. به‌طور خاص می‌توان یک عدد گودل به گزارۀ «x عدد گودل فرمول است» نسبت داد، یا به «x عدد گودل زنجیره‌ای از فرمول‌هاست».

 

حتی می‌توان عدد گودل را به اثبات‌ها نسبت داد، زیرا گفتن اینکه «x عدد گودل یک اثبات است» نظیر این است که بگوییم «x عدد گودل یک زنجیره است، که هر عنصر آن عدد گودل یک اصل موضوع از سیستم است، یا عدد گودل فرمولی است که از اصول موضوع به واسطۀ وضع مقدم به دست می‌آید».

با در دست داشتن این ابزار، می‌توانیم اثبات گودل برای قضیۀ اول ناتمامیت را بیان کنیم. این مسئله به‌طور خاص مبتنی است بر این حقیقت که هر چند مجموعۀ اعداد گودل گزاره‌هایی که در اعداد طبیعی صادق‌اند نمی‌تواند با هیچ فرمولی در زبان حساب پئانو تعریف شود، مجموعۀ اعداد گودل برای گزاره‌هایی که در اعداد طبیعی اثبات‌پذیرند به این شیوه قابل تعریف است (قضیۀ تعریف‌ناپذیری صدق این روز‌ها اغلب به آلفرد تارسکی نسبت داده می‌شود که اثباتی برای آن قضیه در سال 1936 منتشر کرد).

تعریف‌پذیری مفهومی دشوار است، اما گفتن اینکه اثبات‌پذیری تعریف‌پذیر است تنها به این معناست که با فرض هر زنجیرۀ متناهی از فرمول‌ها، تنها با نگاه به آن زنجیره می‌توان فهمید که آیا یک اثبات واقعی است یا نه. البته پیداکردن اثبات خود مسئله‌ای دیگر است.

به‌هرحال، گودل نشان داد که صدق و اثبات‌پذیری نمی‌توانند این‌همان باشند، زیرا یک مفهوم تعریف‌پذیر است و دیگری نیست. احتمالاً عجیب نیست که صدق ریاضی، که مربوط است به عینیت و وجود، همان مفهوم اثبات صوری نیست، که مربوط به بینه20 و توجیه است.

گودل می‌دانست که به‌خاطر فضای ضدمتافیزیکی‌ای که در آن زمان وجود داشت، خصوصاً به‌خاطر تسلط حلقۀ وین که خود نیز گاهی در آن شرکت می‌کرد، منطق‌دانان اثبات او را قبول نخواهند کرد، زیرا مفهوم صدق، به همراه تعریف‌ناپذیری آن، نقشی اساسی در آن بازی می‌کرد.

 

به همین دلیل، گودل نه اثبات اول قضیۀ ناتمامیت را منتشر کرد و نه قضیۀ مربوط به تعریف‌ناپذیری صدق را و تنها سال‌ها بعد از آن‌ها سخن گفت: یک نمونۀ بارز از محدودیت که با توجه به اهمیت این قضیه‌ها خود را نشان می‌دهد.

این خلاصه‌ای است از اثبات قضیۀ اول ناتمامیت که گودل در سال 1931 منتشر کرد. تعریف‌پذیری اثبات‌پذیری، آن‌طور که در بالا ذکر کردم، در اثبات اصلی گودل نقش داشت، همان‌طور که مفهوم خودارجاعی. پدیدۀ خودارجاعی می‌تواند بدون ضرر باشد، مانند زمانی که کسی دربارۀ خود می‌گوید که تشنه است. اما همین‌طور می‌تواند منجر به پارادکس‌هایی در زبان طبیعی شود، ازجمله مهم‌ترین آن‌ها پارادکس دروغ‌گو.

برای توضیح این مسئله جملۀ S. را در زبان طبیعی در نظر بگیرید که می‌گوید «جملۀ S. کاذب است». این جمله خودمتناقض است. زیرا اگر این جمله صادق باشد آنگاه آن‌چه می‌گوید صادق است، یعنی خود جمله کاذب است. اما از طرف دیگر اگر کاذب باشد، آن‌چه دربارۀ خود می‌گوید، یعنی اینکه کاذب است، صادق است.

 

این بدان معنا است که S. صادق است اگر و تنها اگر S. کاذب است. یا به زبان فنی، S. هیچ ارزش صدقی ندارد. با حسابی‌سازی، گودل توانست پارادکس دروغ‌گو را در حساب پئانو بیان کند، اما با جایگزینی اثبات‌پذیری به جای صدق، یعنی «این جمله اثبات‌ناپذیر است» به جای «این جمله کاذب است».

بسیار جالب است که با چنین ابزار ظاهراً پیش پا افتاده‌ای، یعنی با کدگذاری نحو، می‌توان چنین قضیۀ بنیان‌کنی را اثبات کرد. در واقع گودل، خود به این نکته واقف بود و اثبات خود را در صحبت با گئورگ کریزل منطق‌دان «کلک مرغابی» خوانده بود.

حتی جالب‌تر این حقیقت است که گودل دیدگاه عقل‌گرایانۀ خود از ریاضیات (و فلسفه) را، حتی در برابر قضایای خود، در طول زندگی خود حفظ کرد. او در دهۀ 1930 گفت که «این نتایج آسیبی به این عقیده نمی‌رسانند که مسائل [ریاضی]با پاسخ بله یا خیر همیشه تصمیم‌پذیرند». یعنی تصمیم‌پذیر با انسان‌ها، با استفاده از روش‌هایی که از هر مجوعۀ متناهی از قواعد محاسباتی فراتر می‌روند.

دیدگاه‌های مطلق‌گرای گودل دربارۀ صدق ریاضی باعث محبوبیت او در جمع فیلسوفان تحلیلی‌ای نشد که او، هنگام مهاجرت به آمریکا در 1940، خود را در میان آنان یافت. رویکرد فیلسوفان انگلیسی-آمریکایی آن زمان دربارۀ مفاهیمی مانند صدق و معنا، مثلاً، تفاوت بسیار با مفاهیمی داشت که، حداقل آن‌طور که آن فیلسوفان گمان می‌کردند، او به آن‌ها باور داشت. «افلاطون‌گرای خام» واژه‌ای بود که آن‌ها برای توصیف دیدگاه‌های فلسفی گودل به کار می‌بردند.

بعد‌ها فیلسوفان متوجه شدند که این تمایز دیدگاه‌ها آن‌طور که قبلاً تصور می‌شد دقیق نبود. بسیاری از ریاضی‌دانان حاضر بودند که دیدگاه‌های مطلق‌گرایی که پیش از انتشار قضایای گودل به آن اعتقاد داشتند تغییر دهند، حال چه به‌خاطراین قضایا یا با دلایلی منحصر به فرد، درحالی‌که دیگرانی این نظر را پذیرفتند که ظرفیت ریاضیات برای حل مسائل به‌شیوه‌ای قطعی با این قضایا آسیبی ندیده است.

تا پیش از 1931 به‌سادگی ممکن بود که دیدگاهی مطلق‌گرا داشت. «این جمله اثبات‌ناپذیر است»، در حالی که مستقل بود، به نظر نابهنجار یا حداقل بیرون از دامنۀ دغدغه‌های ریاضیات استاندارد می‌رسید. اما در سال‌های اخیر استقلال ریاضی به مرکز عمل ریاضی نزدیک‌تر شده است و تعدادی از جملاتی که برای ریاضی‌دان‌ها اهمیت داشت نشان داده شده که مستقل هستند.

پس آیا استقلال قرار است باقی بماند؟ تقریباً یک قرن بعد از قضایای گودل، این مسئله هنوز حل‌نشده باقی مانده است.

پی‌نوشت‌ها:
• این مطلب را ژولیت کندی نوشته است و با عنوان «Kurt Godel and the mechanization of mathematics» در وب‌سایت تایمز لیترری ساپلیمنت منتشر شده است. وب‌سایت ترجمان آن را در تاریخ 4 تیر 1399 با عنوان «کورت گودل، فیلسوفی که پای معنا را به ریاضیات باز کرد» و ترجمۀ مهدی رعنایی منتشر کرده است.

•• ژولیت کندی (Juliette Kennedy) دانشیار دانشکدۀ ریاضیات و آمار در دانشگاه هلسینکی است. او تفسیر گودل: مقالات انتقادی (Interpreting Gödel: Critical Essays) را ویرایش کرده است. او دانشیار دانشکدۀ ریاضیات و آمار در دانشگاه هلسینکی است.

[1]provability
[2]mechanized
[3]Turing Machine
[4]conjecture
[5]Incompleteness Theorem
[6]decidable
[7]rationalistic
[8]rationalistic optimism
[9]finitary
[10]higher infinite
[11]axiom
[12]façon de parler
[13]formalism
[14]the commutative law of addition
[15]Modus Ponens
[16]independent propositions
[17]Fixed Point Theorem
[18]self-reference
[19]arithmetization
[20]evidence