پاراداکسها (۱)

1 - پاراداکس دروغگو و پاراداکسهای مربوط به آن

پاراداکس ⁽²⁾ دروغگو برای تئوری صدق مساله ای بس حائز اهمیت است و در واقع، تا حدود زیادی، برای پرهیز از همین پارادکس بود که تارسکی شرایط کفایت صوری ⁽³⁾ را برای تعاریف صدق ارایه نمود. در این مقاله می خواهیم این پارادکس و پارادکسهای مشابه و مرتبط با آن را مورد پژوهش قرار دهیم

ابتدا ببینیم اساسا چرا چیزی به نام پارادکس دروغگو، (Liar paradox) وجود دارد؟ پاسخ آن است که جمله دروغگو، که چند سطر بعد خواهد آمد، به ضمیمه اصول کاملا روشنی که درباره صدق موجود است، با استدلال کاملا واضحی، به تناقض می انجامد. علت پارادکس نامیدن این جمله همین است. زیرا پارادکس به لحاظ ریشه لغوی به معنای «فرا اعتقاد» است، یعنی چیزی که انسان نمی تواند بدان اذعان نماید و آن را باور داشته باشد; و تناقض و نیز آنچه به تناقض می انجامد، اینگونه است.

جمله درغگو، که به تناقض می انجامد و پارادکس از آن تشکیل می شود، به گونه های مختلفی بیان شده است. روایت کلاسیک این پارادکس به این شکل است:

(ج) این جمله دروغ است.

فرض کنید جمله «ج » صادق است. اگر این جمله صادق باشد مضمون آن واقعیت خواهد داشت، یعنی جمله ای خواهد بود مطابق با واقع. اما اگر این جمله واقعیت داشته باشد، کاذب خواهد بود. از سوی دیگر فرض کنید جمله «ج » کاذب می باشد، در این صورت مضمون و محتوای آن غیر واقع و نادرست خواهد بود و بنابراین، آن جمله صادق خواهد بود.

نتیجه آنکه: «اگر جمله (ج) کاذب باشد، آن جمله صادق خواهد بود.» [واین تناقض است.]در این روایت از پارادکس دروغگو، جمله مورد نظر مستقیما ناظر به خود و راجع به خودش می باشد. زیرا وقتی گفته می شود «این جمله دروغ است »، لفظ «این » اشاره به نفس همان جمله ای دارد که واژه «این » در آن بکار رفته است. اما در روایتهای دیگر پارادکس دروغگو، جمله مورد نظر به طور غیر مستقیم به خودش اشاره دارد، مانند:

(1)جمله پسین ⁽⁴⁾ کاذب است. (2)جمله پیشین ⁽⁵⁾ صادق است.

اگر جمله (1)صادق باشد، باید جمله پس از آن، یعنی جمله (2)، کاذب باشد، و معنای کاذب بودن جمله (2) آن است که جمله (1) صادق نیست، یعنی کاذب است. پس اگر جمله (1) صادق باشد، همان جمله کاذب خواهد بود. [و این تناقض است.]

پارادکسها

بیان دیگر پارادکس دروغگو، که جمله مورد نظر در آن به طور غیر مستقیم راجع و ناظر به خود است، به پارادکس کارت پستال معروف است. فرض کنید روی یک طرف کارت نوشته شده است:

جمله ای که روی طرف دیگر این کارت نوشته شده، کاذب است.

و روی طرف دیگر نوشته شده است:

جمله ای که روی طرف دیگر این کارت نوشته شده، صادق است.

[در اینجا نیز، اگر جمله اول را صادق بیانگاریم، سرانجام باید آن را کاذب بدانیم و اگر آن را کاذب بدانیم باید به صدقش اعتراف کنیم.]

پارادکس دیگر، پارادکس اپیمنیدس، (Epimenides) است. اپیمنیدس مردی از اهالی جزیره کرت است که طبق فرض، گفته است: «همه اهالی کرت همیشه دروغ می گویند.» این جمله اگر صادق باشد، کاذب خواهد بود، چون گوینده آن جمله خودش یکی از اهالی کرت است وبه حکم جمله فوق همه گفته هایش و از جمله همین سخن او دروغ خواهد بود. محذور این پارادکس (پارادکس اپیمنیدس) البته کمتر از اشکال پارادکس دروغگو است، و به عبارتی، کمتر از آن، پارادکسیکال است. زیرا جمله «همه اهالی کرت همیشه دروغ می گویند» می تواند جمله کاذبی باشد، و اگر کاذب باشد کذب آن مستلزم صدق آن نیست، برخلاف جمله دروغگو که هم صدق آن مستلزم کذب آن است، و هم کذبش مستلزم صدقش است. به دیگر سخن، جمله دروغگو نه می تواند صادق باشد و نه می تواند کاذب باشد. چون اگر صادق باشد، باید کاذب باشد; و اگر کاذب باشد باید صادق باشد; اما جمله اپیمنیدس اگر چه نمی تواند صادق باشد، چون از صدقش، کذبش لازم می آید، اما می تواند کاذب باشد، چرا که کذبش مستلزم صدقش نیست. زیرا کاذب بودن جمله «همه اهالی کرت همیشه دروغ می گویند» مستلزم آن نیست که بپذیریم: «همه اهالی کرت همیشه راست می گویند» بلکه مستلزم آن است که «بعضی از اهالی کرت بعضی از اوقات راست می گویند.» ⁽⁶⁾

پارادکس گرلینگ، (Grelling)

در پارادکس گرلینگ به جای مفهوم «صادق و کاذب » مفاهیم «صادق بر ⁽⁷⁾ و غیر صادق بر ⁽⁸⁾ »به کار رفته است. توضیح اینکه الفاظ را در یک تقسیم بندی می توان به دو گروه کلی تقسیم کرد:

1 - الفاظ صادق برخود.

2 - الفاظ غیر صادق بر خود.

الفاظ صادق برخود، الفاظی هستند که خودشان را می توان محمول خودشان قرار داد، یعنی بر خودشان صدق می کنند، مانند: کلمه، فارسی و اسم. و در برابر، الفاظ غیر صادق بر خود، مانند: حرف، فعل و انگلیسی. واژه «حرف، خودش حرف نیست بلکه اسم است، واژه «فعل » نیز خودش فعل نیست بلکه اسم است. و کلمه «انگلیسی »، یک لغت انگلیسی نیست بلکه فارسی است.

و دسته دوم را نا متجانس، (Heterological) می نامیم. با توجه به اینکه تقسیم فوق یک تقسیم حاصر است می پرسیم: واژه «نامتجانس » خود از کدام دسته است؟ آیا متجانس است یا نامتجانس. لفظ «نا متجانس » اگر صادق بر خودش باشد، یعنی جزء دسته نخست باشد، دیگر نامتجانس نبوده، و در نتیجه صادق بر خودش نیست. [ چون در صورتی صادق بر خودش است که خودش نامتجانس باشد.] و اگر غیر صادق بر خودش باشد، نامتجانس خواهد بود و در نتیجه غیر صادق برخودش نخواهد بود. خلاصه آنکه لفظ «نامتجانس » اگر نامتجانس باشد، متجانس است; و اگر متجانس باشد، نامتجانس است. و به دیگر سخن: اگر فرض کنیم جزء دسته دوم است، جزء دسته اول خواهد بود، و اگر فرض کنیم جزء دسته اول است، جزء دسته دوم خواهد بود ⁽⁹⁾ .

پارادکس راسل

پارادکس راسل متضمن معنا و مفهوم مجموعه، (Set) است. برخی از مجموعه ها عضو خودشان هستند، اما برخی دیگر عضو خودشان نیستند. به عنوان مثال، مجموعه امور انتزاعی ⁽¹⁰⁾ ،خودش یک امر انتزاعی است و لذا خودش عضو خودش می باشد، اما مجموعه گاوها خودش گاو نیست، و از این رو این مجموعه، عضوی از خودش به شمار نمی رود. حال، مجموعه مجموعه هایی را که خودشان عضو خودشان نیستند، در نظر بگیرید، یعنی مجموعه ای را که افراد و اعضایش عبارتند از: مجموعه هایی که خودشان عضو خودشان نیستند. سؤال این است که: آیا این مجموعه خودش عضو خودش هست یا نه؟ یعنی آیا از قبیل مجموعه امور انتزاعی است یا از قبیل مجموعه گاوها؟ اگر خودش عضو خودش باشد باید ویژگی و وصفی را که همه اعضای این مجموعه دارند، واجد باشد، و آن ویژگی آن است که «خودش عضو خودش نیست ». پس اگر فرض کنیم این مجموعه، عضو خودش باشد به این نتیجه می رسیم که عضو خودش نیست. از سوی دیگر، اگر این مجموعه عضو خودش نباشد، این مجموعه دارای همان وصف و خصوصیتی خواهد بود که اعضای آن مجموعه واجد آنند، زیرا مجموعه ای است که خودش عضو خودش نیست، و در نتیجه خودش عضو خودش خواهد بود. بنابراین، مجموعه همه مجموعه هایی که خودشان عضو خودشان نیستند، در صورتی که عضو خودش نباشد، عضو خودش خواهدبود ⁽¹¹⁾ .

پارادکس کانتر، (Cantor)

پارادکس کانتر نیز، همانند پارادکس راسل، مربوط به نظریه مجموعه هاست. تقریر پارادکس کانتر به این صورت است: هیچ مجموعه ای نمی تواند بزر گتر از مجموعه همه مجموعه ها باشد. اما برای هر مجموعه مفروضی، مجموعه دیگری هست که عبارت است از «مجموعه همه زیر مجموعه های آن مجموعه مفروض.» و این مجموعه بزرگتر از آن مجموعه نخست است، زیرا همه اعضای آن را دارد به علاوه یک عضو دیگر، که عبارت است از خود آن مجموعه نخست، زیرا هر مجموعه ای خودش زیر مجموعه خودش است ⁽¹²⁾ .

اینها نمونه هایی است از پارادکسهای مطرح شده که در کتابهابیان شده است. البته موارد دیگری نیز یافت می شود که از ذکر آن خودداری شد، زیرا غرض ما در اینجا تنها آشنایی با نوع مشکلاتی است که در رابطه با این پارادکسها پدید آمده است، نه استقرای تام تمام پارادکسهای مطرح شده. امیدواریم نمونه های ذکر شده به نحو کافی روشنگر نوع مسایل و مشکلاتی باشد که یک راه حل پیشنهادی برای گشودن این پارادکسها باید بدان بپردازد ملاحظه انواع گوناگون پارادکسها شخص را قادر می سازد که تشخیص دهد آیا راه حل های ارائه شده فرا گیر هست و می تواند پاسخی برای همه اقسام پارادکس باشد یا نه؟

پارادکسهای نظریه مجموعه ها و پارادکسهای معنای

اگر چه پاره ای از پارادکسهای یاد شده از مدتها پیش شناخته شده بودند، اما تنها پس از مطرح شدن پارادکس راسل، این پارادکسها موضوع بحثهای جدی فلسفی قرار گرفتند و مباحث عمده ای را به خود اختصاص دادند.

فرگه علم حساب را به منطق جمله ها، منطق محمولها و تئوری مجموعه ها تحویل برد، اما راسل نشان داد که پارادکس او معضلی جدی برای سیستم ارایه شده توسط فرگه است. این پارادکس نشان می داد که سیستم فرگه ناسازگار است و در آن تناقض یافت می شود.

فرگه امیدوار بود که با تحویل بردن علم حساب به اصول بدیهی، پایه های استواری برای این علم فراهم سازد; واز این رو، این واقعیت که از اصول موضوعه منطقی و بدیهی او تناقض به دست می آید، شوک معرفت شناختی سختی بر وی وارد آورد.

این پارادکسها را نمی توان صرفا با انگ معما یا لغز یا حیله و مانند آن از میدان به در کرد; چرا که اینها فی الواقع تعارضها و تناقضهایی هستند که از نظریه مجموعه ها بر آمده اند. با توجه به این واقعیت که هر چیز را می توان از تناقض استنتاج کرد، معلوم می گردد که نتایج و لوازم این پارادکسها برای هر سیستمی که چنین پارادکسهایی از آن به دست می آید، غیر قابل تحمل می باشد.

پارادکس راسل به مثابه اهرم فشاری برای تدبیرهایی که جهت انتخاب یک تئوری مجموعه ای سازگار اندیشیده می شود، عمل می کند; و به نحو مشابه، پارادکس دروغگو همچون اهرم فشاری است بر روی چاره جوییهایی که برای ارایه یک تئوری معنایی سازگار به عمل می آید.

در اینجا بحثی است که باید پیش از بررسی راه حلهای ارایه شده بدان توجه نمود و آن اینکه آیا پارادکسهای یاد شده در دودسته کاملا متمایز قرار می گیرند یا آنکه یک خویشاوندی و همانندی میان همه آنها بر قرار است، به گونه ای که می توان همه آنها را بایک بیان واحد حل نمود وپرده از راز همه آنها برگرفت؟ در آغاز چنین به نظر می رسد که این پارادکسها در دو دسته متمایز قرار می گیرند: پارادکسهایی که لزوما در بردارنده مفاهیم نطریه مجموعه ها ⁽¹³⁾ هستند، مانند پارادکس راسل، و پارادکسهایی که لزوما در بردارنده مفاهیم معناشناسی ⁽¹⁴⁾ می باشند، مانند صدق و کذب. تفکیک میان پارادکسهای نظریه مجموعه ها و پارادکسهای معناشناسی، عقیده ای شایع و رایج است که از پیانو آغاز شده و پس از دفاع قوی رمسی در سال 1925 رواج یافته است ⁽¹⁵⁾

البته راسل خودش با این دسته بندی چندان موافق نیست. او معتقد است منشا همه این پارادکسها یک خطا و مغالطه است و آن خطا عبارت است از: تخلف از «اصل دور باطل »، .(Vicious Circle Principle)

اگر فرض شود شماری از پارادکسها از برخی ویژگیهای مفاهیم نظریه مجموعه ها و سایر پارادکسها از برخی ویژگیهای مفاهیم معناشناسی ناشی می شوند، در این صورت دسته بندی آنها به دو گروه متمایز قابل قبول خواهد بود; اما اگر، مانند راسل، معتقد باشیم که همه این پارادکسها و تمام این آشفتگیها و اشکالها از امری عمیقتر و ریشه ای بر آمده است که در همه پارادکسها مشترک می باشد، این تفکیک نا صواب خواهد بود.

به عقیده من، دشوار می توان خویشاوندی بدوی همه پارادکسها با یکدیگر را رد کرد، و با قاطعیت بر تفکیک میان آنها حکم راند. مطمئنا راه حلی که همه این پارادکسها را شامل شود، خشنود کننده تر از راه حلی است که تنها پاره ای از آنها را در بر گیرد. بنابر این، بهتر آن است که این تقسیم بندی را مسلم نپنداریم و باب بحث درباره آن را همچنان گشوده بدانیم تا ببینیم به چه نتیجه ای خواهیم رسید.

2 - راه حلهای پارادکسها

ویژگیهای لازم برای یک راه حل

پیش از ارزیابی راه حلهایی که برای پارادکسها ارایه شده است، مناسب است درباره ویژگیهایی که یک راه حل مقبول باید از آن برخوردار باشد، صحبت کنیم. ابتدا ببینیم مشکل و مساله ما واقعا چیست؟ مساله این است که نتایج متعارض و متناقضی از یک استدلال قطعی و اجتناب ناپذیر با مقدماتی قطعی و مسلم به دست می آید. به بیان دیگر: استدلالی که هم از جهت صورت و هم از جهت ماده قطعی و مسلم است تناقض نتیجه می دهد. این مشکل، دو ویژگی را برای هر راه حل پیشنهادی الزام می کند:

1 - هر راه حل پیشنهادی باید یک تئوری سازگار صوری ⁽¹⁶⁾ ارایه دهد (در باب معناشناسی یا نظریه مجموعه ها، در هر مورد که باشد). به دیگر سخن، بیان کند کدام مقدمه یا اصل استنتاج، که قطعی و مسلم انگاشته می شد، باید رد شود و غیر معتبر به شمار آید (حل صوری) ⁽¹⁷⁾ و افزون بر آن، توضیح دهد که آن مقدمه یا اصل، چرا و به چه علت، علی رغم وضوح بدوی اش، باید کنار نهاده شود (حل فلسفی) ⁽¹⁸⁾ . البته تحدید دقیق ویژگیهای لازمی که این تبیین و توضیح باید دربرداشته باشد، امری دشوار است، اما اگر بخواهیم مطلب را کلی و سربسته و بدون وارد شدن در جزئیات بیان کنیم باید بگوییم: این تبیین باید نشان دهد که مقدمه یا اصل رد شده، به گونه ای است که قطع نظر از منتهی شدن به تناقض، اشکال و نارسایی خاصی دارد. این نکته در کمال اهمیت و در عین حال بسیار دشوار است که از آن دسته از راه حلها که با شیوه ای به ظاهر تبیین گر تنها جمله های متخلف را مشخص می کنند، پرهیز شود.

2 - ویژگی دوم یک راه حل پذیرفتنی به قلمرو و حوزه آن مربوط می شود. یک راه حل مطلوب نباید دامنه اش چندان گسترده باشد که استدلالهای مطلوب و مورد استفاده ما را نیز از میان بردارد و عقیم سازد (اصل عدم گستردگی بیش از حد); اما در عین حال باید آن اندازه وسیع و گسترده باشد که همه استدلالهای تناقض نما و پارادکسیکال مربوطه را عقیم گرداند (اصل عدم محدودیت بیش از حد). البته تعیین پارادکسهای مربوطه و تفکیک آن از سایر پارادکسها امری دشوار است.

در سطح صوری، اصل دوم (عدم محدودیت بیش ازحد) ایجاب می کند که یک حل مطلوب به گونه ای باشد که سازگاری و هماهنگی ⁽¹⁹⁾ را حفظ کند. پاسخ فرگه به ناسازگاریی که راسل در نظریه مجموعه های او کشف کرده بود، یک تقیید و محدودیت صوری است که برخی پارادکسهای نزدیک به پارادکس راسل را شامل نمی شود و از حل آنها عاجز است، و از این رو اصل فوق در آن رعایت نشده است.

در سطح فلسفی، این اصل (عدم محدودیت بیش از حد) الزام می کند که تبیین پیشنهادی تا آنجا که ممکن است، عمیق باشد. این ویژگی، سخن پیشین ما را نیز تایید و تقویت می کند که حلی که هر دو دسته از پارادکسها (پارادکسهای معنا شناسی و پارادکسهای نظریه مجموعه ها) را شامل می گردد، بر حلی که تنها یک دسته از پارادکسها را شامل می شود، ترجیح دارد.

اگر به اختصار برخی از حلهای ارایه شده که نتوانسته اند به نحو مطلوب مساله ای را بگشایند و معما را حل نمایند، بررسی گردد، شاید اهمیت و اعتبار ویژگیهای یاد شده مورد تصدیق قرار گیرد.

راه حل نخست: فی المثل; برخی گفته اند: اشکال قضایایی که به تناقض می انجامند آن است که ناظر و راجع به خودشان ⁽²⁰⁾ هستند، یعنی حکم و مطلبی را مستقیما درباره خودشان بیان می کنند. پس اگر قضایای راجع و ناظر به خود را کنار گذاریم و آنها را مردود بدانیم، تناقضی به بار نخواهد آمد.

ارزیابی: این راه حل بسیار گسترده و در عین حال بسیار محدود است و از این رو، هم اصل «عدم گستردگی بیش از حد»را نقض می کند و هم اصل «عدم محدودیت بیش از حد». اصل «عدم گستردگی بیش از حد» را نقض می کند، چون نه تنها بسیاری از قضایای بی زیان و صحیح و متعارف وجود دارد که ناظر و راجع به خود است (مانند: این جمله فارسی است، این عبارت به خط سیاه است)، بلکه برخی استدلالهای ریاضی به نحو اساسی از جملاتی استفاده می کند که ناظر به خود می باشند، مانند استدلال گدل برای اثبات ناتمام بودن علم حساب. از این رو کنار نهادن تمام قضایای ناظر به خود، لوازم و توابع خطیری به دنبال دارد.

در عین حال، این راه حل شامل همه روایتهای پارادکس دروغگو نمی شود، زیرا در برخی از روایتهای آن، جمله مورد نظر به طور مستقیم و صریح ناظر به خود نیست. مثلا عبارت «جمله پسین دروغ است » و عبارت «جمله پیشین راست است » هیچ کدام ناظر به خود نیستند. لذا این حل پیشنهادی، بیش از حد محدود است و همه آنچه را باید در برگیرد، شامل نمی شود.

راه حل دوم: استنتاج تناقض از جمله دروغگو مبتنی بر این فرض است که عبارت «این جمله دروغ است » از دو حال بیرون نیست: یا صادق است و یا کاذب. لذا کاملا قابل پیش بینی است که برای حل این پارادکس پیشنهاد شود که این فرض را باید کنار نهاد. بوخوار، (Bochvar) برای حل پارادکس دروغگو، منطق سه ارزشی را مطرح کرد، در برابر منطق کلاسیک که تنها در آن دو ارزش صدق و کذب تعریف شده است. در منطق بوخوار ارزش سوم به قضایای پارادکسیکال تعلق دارد، یعنی قضایایی که کذب آنها مستلزم صدق و صدق آنها مستلزم کذبشان است.

ارزیابی: همان اشکال پیشین بر این حل نیز وارد می شود، یعنی نه اصل عدم گستردگی بیش از حد در آن رعایت شده است و نه اصل عدم محدودیت بیش از حد. اصل اول در آن رعایت نشده چون مستلزم تغییر در اصول اولیه و اساسی منطق است، و اصل دوم در آن رعایت نشده چون قویترین روایت پارادکس دروغگو را حل نمی کند و آن این روایت است:

این جمله یا کاذب است یا پارادکسیکال.

جمله فوق، اگر صادق باشد کاذب یا پارادکسیکال است، و اگر کاذب باشد صادق است، و اگر پارادکسیکال باشد صادق است، در حالی که در منطق سه ارزشی بوخوار جمله ای که صادق است نه کاذب خواهد بود ونه پارادکسیکال، و جمله ای که کاذب و یا پارادکسیکال است دیگر صادق نخواهد بود.

راه حل سوم: در این راه حل نیز این فرض که «جمله دروغگو باید یا صادق باشد یا کاذب » انکار می شود، با این تفاوت که ارزش صدق سومی به آن داده نمی شود. در این راه حل گفته می شود که جمله دروغگو از سنخ جملاتی نیست که ارزش صدقی دارند. بنابر آنچه در این راه حل آمده است، تنها خبرها هستند که یا صادق اند یا کاذب، و جمله دروغگو اساسا خبر نیست.

ارزیابی: ضعف این راه حل در آن است که بیان روشنی برای خبر نبودن جمله دروغگو ارایه نمی دهد، چون نکته و سر این مطلب را بیان نمی کند که چرا جمله دروغگو ارزش صدق ندارد. بر فرض که بپذیریم تنها خبرها یا قضایا از ارزش صدق برخوردارند، باید توضیح داده شود که چرا جمله دروغگو ارزش صدق ندارد و جزءمواردی نیست که لزوما یا صادق اند یا کاذب. جمله دروغگو هم بر حسب ساختار نحوی و هم بر حسب محتوا و مضمون یک جمله خبری است، پس چرا نباید همانند سایر خبرها، یا صادق باشد یا کاذب. کمترین چیزی که این راه حل باید بیان کند آن است که اولا: شرایطی که موجب می شود یک عبارت، خبر به شمار آید کدام اند؟ ثانیا: چرا جمله دروغگو فاقد آن شرایط است؟ ثالثا: چرا فقط خبرها هستند که یا صادق اند یا کاذب؟ در غیر این صورت، این اشکال وارد خواهد بود که حل ارایه شده به نحو کافی روشن و تبیین گر نیست.

راه حل راسل: تئوری طبقات، اصل دور باطل

راسل از یک سو، حل صوری را مطرح می کند (تئوری طبقات ⁽²¹⁾ ) و از سوی دیگر، حل فلسفی را (اصل دور باطل) ⁽²²⁾ .

امروزه معمول است که در حل صوری راسل دو امر را از یکدیگر تفکیک می کنند: یکی نظریه ساده طبقات و دیگری نظریه منشعب طبقات.

تئوری ساده طبقات، عالم گفتار را به سلسه ای از مراتب تقسیم می کند: عالم افراد (طبقه صفر)، عالم مجموعه های افراد (طبقه یک)، عالم مجموعه های مجموعه های افراد (طبقه دو) و ... با شماره ذیل هر متغیر، مشخص می شود که آن متغیر به کدامیک از این عوالم مربوط است. بنابراین، 0 X مربوط به طبقه صفر، 1 X مربوط به طبقه یک و 2 X مربوط به طبقه دو است، و به همین ترتیب.

بدینسان قواعد ساخت ⁽²³⁾ دارای یک شرط می شوند، و آن اینکه دستور صوری فرمول « X عضو Y »تنها وقتی صحیح عضو Xn »یک فرمول غلط است، و در نتیجه این مطلب که «یک شی ء عضو خودش نیست » که مقوم پارادکس راسل بود، اساسا قابل بیان نیست. زیرا بنابر تئوری طبقات، تعلق یک شی ء به مجموعه ای از طبقه خودش امری بی معناست و لذا سلبا و ایجابا قابل بیان نیست. تنها نسبت به مجموعه ای از طبقه بالاتر از خود است که شی ء یا بدان تعلق دارد یا ندارد. این روایت ساده تئوری طبقات است. اما تئوری منشعب طبقات، سلسله مراتبی از گزاره های (جمله های بسته) ⁽²⁴⁾ و توابع گزاره ای (جمله های باز) ⁽²⁵⁾ را الزام می کند و این قید را مفروض می گیرد که هیچ گزاره (یا تابع گزاره ایی) ⁽²⁶⁾ نمی تواند در باره گزاره ها (یا توابع گزاره ای) که متعلق به طبقه خود یا طبقه بالاتر از خود است ناظر باشد و مطلبی را درباره آنها بیان دارد. به دیگر سخن، یک گزاره نمی تواند سوری آنچنان کلی داشته باشد که خودش و یا گزاره های هم طبقه یا مربوط به طبقه بالاتر از خودش را شامل گردد. مفاهیم «صادق » و «کاذب » نیز باید مقید به قید مذکور شوند، یعنی تنها قضایایی را در برگیرند که بر آنها اطلاق می شوند. به دیگر بیان، فقط قضایایی را شامل شوند که در طبقه زیرین قرار دارند، و در برگیرنده قضایای هم طبقه یا مربوط به طبقه بالاتر انگاشته نشوند. یک قضیه مربوط به طبقه n در طبقه 1 + n صادق و یا کاذب است. بنابراین، جمله دروغگو که صدق و کذب خودش را ذکر می کند، قابل بیان نیست، یعنی جمله ای بی معنا و فاقد محتواست، درست همانگونه که در تئوری ساده طبقات نمی توان گفت: شی ء عضو خودش نیست.

راسل تفکیک پارادکسها به دو دسته متمایز را صحیح نمی دانست. او معتقد بود که همه پارادکسها از یک خلط و خطا رنج می برند و از یک اشتباه روییده اند، یعنی آنچه راسل، به تبع پوانکاره، آن را اصل دور باطل نامیده است. راسل اصل دور باطل را به گونه های مختلفی، که چندان شباهتی به هم ندارند، بیان کرده است. یک جا در بیان این اصل می گوید: یک مجموعه نباید در بردارنده خودش باشد، و یا تنها بر حسب خودش تعریف پذیر باشد. اصل دور باطل موجب شد محدودیتهای نظم طبقات بر تئوری صوری تحمیل شود، با نشان دادن اینکه آنچه توسط این محدودیتها ناصواب شمرده می شود، بی معناست.

این نکته حایز اهمیت است که عین همین معقولیت فلسفی هم در تئوری ساده طبقات و هم در تئوری منشعب طبقات بیان شده است. از آنجا که راسل معتقد بود مجموعه ها در واقع ساختارهای منطقی توابع گزاره ای هستند، بر آن است که محدودیتهای تئوری ساده طبقات (که در باب مجموعه هاست) یک شکل خاص محدودیتهای تئوری منشعب طبقات است (که در باب گزاره هاست).

نقد راه حل راسل

در هر دو ساحت صوری و فلسفی، راسل با دشواریهایی مواجه است. از جهت صوری، این خطر در برابر راسل وجود دارد که مبانی و اصولی که خود درجایی دیگر پذیرفته است، مخدوش گردد. این قیود پارادکسها را حل می کند، اما برخی از نتایج مطلوب راسل را نیز از میان می برد. باید توجه داشت که هدف اصلی راسل که برای دستیابی به آن تلاش می کرد، کامل کردن طرحی است که از فرگه آغاز شده بود، یعنی طرح تحویل بردن حساب به منطق. راسل در صدد آن بود که علم حساب را به منطق جملات و منطق محمولات درجه اول و تئوری مجموعه ها تحویل برد. اما قیود طبقه، مانع استدلال بر نامحدود بودن مجموعه اعداد طبیعی می شود، و قیودی که راسل در نظم طبقات مطرح نمود، برخی از نظریه های راسل را در مورد نسبیت قضایا بر هم می زند.

راسل در کتاب مبانی ریاضیات، با افزودن یک سری اصول موضوعه، از این تالیهای فاسد پرهیز می کند، مانند اصل موضوع عدم تناهی و اصل موضوع تحویل پذیری. این اصول موضوعه، اشتقاق پذیری پیانو را، که علم حساب بدان محتاج است، تامین می کند، اما در کار آوردن یک سری اصول موضوعه، به طور دلبخواهی، از اعتبار این ادعا که علم حساب به منطق تحویل پذیر است، می کاهد. البته این دشواریها، اگر چه انسان را در معقول و موجه بودن منطق گرایی راسل مردد می سازد، خطا بودن طرح راسل برای حل پارادکسها را اثبات نمی کند.

اما سوء ظن به صحت این راه حل با دشواریهایی که در سطح فلسفی پدید می آید، تقویت می شود. پیش از هر چیز باید گفت: اصل دور باطل با دقت تام و کامل و مطلوب بیان نشده است و به دلیل همین ابهام در تنسیق آن، مشکل می توان فهمید که دقیقا چراء;م ظظ این دورها باطل است.

رمسی، (Ramsey) معتقد است هیچ اشکالی در تعریف کردن شی ء بر اساس خودش وجود ندارد، مثلا در تعریف یک فرد می توان گفت: «او کسی است که در تیم خود قویترین ضربه را به توپ می زند»، در حالی که این، آشکارا نقض اصل دور باطل است. پس چنین نیست که تمام این گونه دورها کنار گذاشتنی باشند، و در واقع همه این موارد، مصداق دور باطل نیستند. این سخن رمسی است (نظیر این مطلب را در باره جملات راجع به خود گفتیم، که چنین نیست که هر جمله ای که ناظر به خود است، کنار گذاشتنی و مردود باشد).

با وجود این دشواریها، راه حل راسل و نکته ای که او بدان توجه نمود، دنبال شد و در دیگران مؤثر افتاد. در ادامه بحث بیان خواهیم کرد که رهیافت راسل، در واقع به لحاظهای خاصی، در مسیر صحیح قرار دارد. در اینجا اشاره ای تاریخی خواهیم داشت به راه حلهایی که پس از طرح راسل و متاثر از راه حل راسل، ارایه شده است.

راه حلهای متاثر از راه حل راسل

یکی از کسانی که راه حل او متاثر از بیان راسل است، رایل، (Ryle) است.رایل در اثری که در سال 1952 منتشر ساخت، نشان داد که عبارت «این جمله دروغ است » باید در این قالب بیان شود که: «این جمله (یعنی همین جمله ... [یعنی همین جمله ...یعنی همین جمله ... و به همین ترتیب]) دروغ است.» و این هرگز یک جمله کامل نخواهد شد. رایل، مانند راسل، فکر می کند که «به خود راجع بودن » جمله دروغگو، آن را از معنا تهی می سازد.

مکی، (Machie) در 1973 با راسل و رایل در این امر موافقت کرد که مشکل عمده در پارادکس دروغگو وجود یک نوع، خود ارجاعی باطل در آن است، اما مطلب را، به خاطر دلیل موجهی، اینگونه بیان کرد که: جمله دروغگو آشکارا و بدرستی از عناصر اصلی اش تهی شده است، و جمله ای خالی از محتواست نه بی معنا. او به جای تعبیر بی معنایی، ( Meaninglessness) تعبیر فقدان محتوا، (Lack of content) را به کار برد. مکی اگر چه در تفکیک کردن بی محتوایی از بی معنایی و فقدان ارزش صدق دقت به خرج داده است، اما توضیح نداده است که تفاوت این سه امر واقعا در چیست؟ و ملاک و معیار هر کدام چیست؟

راه حلهای پیشنهادی تارسکی برای حل خصوص پارادکسهای معنا شناختی شباهت زیادی دارد به سلسله مراتب نظمهای قضایا که راسل بیان کرده است.

حل تارسکی: سلسله مراتب زبان

تارسکی نظرش به پارادکسهای معنا شناختی معطوف است و برای حل آنها تلاش کرده است. به عقیده او، این پارادکسها از دو قاعده مفروض نتیجه شده اند:

الف - زبان به لحاظ معنایی بسته است، یعنی اولا ابزارهایی برای تبیین خود در اختیار دارد، و ثانیا اوصاف صادق و کاذب در آن وجود دارد.

ب - قواعد منطقی معمول پذیرفته و صحیح است. تارسکی مایل نبود اصل دوم را انکار کند، و از این رو قاعده نخست را رد کرد. او به عنوان یک شرط کافی صوری چنین فرض کرد که صدق برای زبانهایی که از جهت معنایی بازاند، تعریف می شود. بدینسان تارسکی سلسله ای از زبانها را فرض کرد:

زبان موضوعی ⁽²⁷⁾ ت ،

فرازبان ⁽²⁸⁾ M ،

فرازبان مشتمل است بر: 1 - ابزارهایی برای اشاره به تبیین O ; 2 - محمولهای «صادق در O »و «کاذب در O ».

فرا - فرا زبان M

فرا فرازبان مشتمل است بر: 1 - ابزاری برای اشاره به تبیین M ،و 2 - محمولهای «صادق در M »و «کاذب در M ».

دراین سلسله زبانها، صدق برای یک سطح مفروض همواره توسط یک محمول متعلق به سطح بالاتر بیان می شود; درست به همین دلیل و با توجه به همین نکته جمله درغگو تنها به این صورت بی ضرر و زیان می تواند ظاهر شود که «این جمله در O کاذب است ». جمله یاد شده باید خودش متعلق به M باشد، و از سوی دیگر، نمی تواند در O صادق باشد، بلکه صرفا کاذب است، ولذا به هیچ وجه پارادکسیکال نخواهد بود.

اگر چه تمسک به تئوری صدق تارسکی تا اندازه ای این راه حل را موفق جلوه داده است، اما حالت قراردادی داشتن و جعلی بودن آن موجب مناقشاتی بر آن شده است.

سلسله مراتب زبان و نسبی ساختن صدق و کذب، پارادکسهای معناشناختی را بر طرف ساخته است، اما با آن معنای از صدق و کذب که مستقل از پیامدهای آن، در ذهن مرتکز است، سازگار نیست. به دیگر بیان، راه حل تارسکی یک حل صوری به نظر می رسد نه یک حل فلسفی. دلیل تارسکی بر لازم بودن جمله هایی که از لحاظ معنایی بازند، صرفا آن است که جمله هایی که از لحاظ معنایی بسته اند به پارادکس منجر می شوند. البته تارسکی برای نسبی بودن صدق و کذب در یک زبان، دلیل عقلی مستقلی نیز ذکر کرده است. خلاصه این دلیل آن است که: صدق برای جمله های «زدس » ⁽²⁹⁾ تعریف شود و چنین جمله ای می تواند معانی مختلف و گوناگونی داشته باشد. اما این دلیل، برای تاکید بر اینکه «صادق در L »همواره محمولی است از یک زبان فراتر از L و نمی تواند محمولی از L باشد، توجیه مستقلی ارایه نمی دهد.

این سخن تارسکی که صدق از جهت معنایی یک امر مبهم و پیچیده است، بر خلاف ارتکاز است. البته صرف وجود این ارتکاز فی نفسه دلیل قاطعی بر رد سخن تارسکی نیست. کریپکی می گوید اسنادهای معمول و متعارف صدق و کذب را نمی توان به گونه حصه حصه در مراتب مختلف زبان در نظر گرفت. به عنوان مثال فرض کنید جان (رقیب انتخاباتی نیکسون) بگوید:

همه آنچه نیکسون درباره جریان واتر گیت گفته است، دروغ است.

بنابرنظریه تارسکی، جمله فوق باید به زبانی بالاتر از زبانی که همه گفته های نیکسون درباره واترگیت در آن زبان بوده است، اختصاص داشته باشد. اما تعیین سطح و ساحت گفته های نیکسون درباره واتر گیت، دشوار و بلکه گاهی در برخی موقعیتهای نامطلوب، غیر ممکن می باشد. فرض کنید یکی از گفته های نیکسون جمله زیر باشد:

همه گفته های جان درباره واتر گیت، دروغ است.

طبق نظر تارسکی، باید آن جمله جان دریک مرتبه بالاتر از همه گفته های نیکسون درباره واترگیت باشد و این گفته نیکسون نیز باید یک مرتبه بالاتر از همه گفته های جان درباره واتر گیت باشد. در نتیجه جمله «همه گفته های جان درباره واتر گیت دروغ است » باید متعلق به زبانی باشد که دو طبقه بالاتر از زبانی است که متعلق به آن است. یعنی جمله فوق در عین حال که مثلا متعلق به زبان طبقه دو است، باید متعلق به زبان طبقه چهار باشد!

کریپکی می گوید: راه حل تارسکی نمی تواند یک تحلیل وافی از ویژگی «مخاطره آمیز بودن » نسبت صدق و کذب ارایه دهد. به عقیده کریپکی، همین اظهارات معمولی درباره صدق و کذب است که در صورت نامطلوب بودن واقعیتهای خارجی، موجب پیدایش پارادکس می شوند. فرض کنید مثلانیکسون بگوید: «همه گفته های جان درباره واتر گیت راست است.» در این صورت اگر جان بگوید: «همه گفته های نیکسون درباره واتر گیت دروغ است » این جمله اگر صادق باشد، کاذب خواهد بود، و اگر کاذب باشد، صادق خواهدبود. به نظر کریپکی، دشوار می توان این جمله های متخلف و شاذ را با ویژگیهای معنایی یا ساختاری از دیگر جمله ها متمایز نمود. باید یک دلیل منطقی جست که اجازه دهد در ارتباط با هر اسناد صدقی، وقتی واقعیت بد بیان می شود، پارادکس بروید.

پی نوشتها:

1- این مقاله ترجمه ای تحریرگونه است از مقاله هشتم کتاب Philosophy of logics نوشته سوزان هاک; تحت عنوان Paradoxes که به بحث درباره یکی از مهمترین مباحث مربوط به فلسفه منطق می پردازد. از آنجا که متن کتاب بسیار فشرده و موجز تنظیم شده و از سوی دیگر، در نوشته های فارسی طرح این مساله بدین گونه تقریبا بی سابقه است، تلاش کردم مفاهیم هر چه بیشتر ساده و روان عرضه شود و در موارد ضروری توضیحاتی ارایه گردد. از این رو نوشتار از صورت ترجمه به معنای دقیق کلمه خارج شده است. در همین راستا، در پاره ای موارد مثالها را تغییر دادم و تلاش کردم اصطلاحات فنی مربوط به منطق جدید را در پاورقی توضیح دهم، و در این توضیحات از کتاب واژه نامه توصیفی منطق، تالیف دکتر ضیاء موحد بهره بردم. شایان ذکر است که این مقاله به عنوان تکلیف درسی در دوره ی دکتری در دانشگاه تربیت مدرس تقریبا دو سال پیش تحریر شد و اکنون به علاقه مندان عرضه می شود. در اینجا لازم می دانم از دانشور گرانمایه و دوست صدیقم آقای محسن جوادی، که در نگارش این نوشتار یاریم دادند، تشکر کنم.

،به معنای فرا و [ Doxa ] ،به معنای اعتقاد، ترکیب یافته و بنابراین بر حسب ریشه لغوی، معنای آن «فرا اعتقاد» است، یعنی امری که نمی توان بدان اذعان نمود و باور داشت. شاید این نام را از آن رو بر تعارضات منطقی نهاده اند که آنها اموری هستند وراء اعتقاد آدمی که هیچ انسانی بر حسب فطرت سالم عقلانی خود نمی تواند بدانها باور داشته باشد. در هر حال، مترجمان فارسی معادلهای گوناگونی برای این واژه قرار داده اند، از جمله: تناقض، معما، خارق اجماع، رای باطلنما، لغز، جمع اضداد، تعارض در اقوال، نامعقول، بیهوده نما، چرند نما، مخالف خوانی، فرا پنداری، تضاد نمایی، شطحیه، شطح، حکم متناقض نما، شبهه، باطل نمای، تناقض نما، ناسازه، پارادخشی (فرهنگ فلسفه و علوم اجتماعی، ص 617، 618). معنای اصطلاحی پارادکس عبارت است از: «جمله ای که صدق آن و صدق نقیض آن هر دو به تناقض انجامد».

3- Formal Adequacy conditions

4- مقصود جمله شماره (2) است.

5- مقصود جمله شماره (1) است.

6- برخی پارادکس اپیمنیدس را اینگونه تقریر کرده اند:این جمله را در نظر بگیرید: «این جمله صادق نیست.» آیااین جمله صادق است؟ اگر صادق باشد، نیست و اگر صادق نباشد هست.

7- True of.

8- False of.

9- آقای ضیاء موحد می نویسد: «پارادکس حمل ناپذیرگرلین - نلسون: محمولی حمل ناپذیر است که جمله ای که از حمل آن محمول برخود ساخته می شود، کاذب باشد. آیا محمول «حمل ناپذیر» خود حمل ناپذیر است؟ اگر باشد، نیست و اگر نباشد، هست. (واژه نامه توصیقی منطق، ص 74-73)

10- - The set of abstract obgects

11- کاپلستون دراین باره می نویسد: «راسل در اواخر سال 1900 تحریر اصول ریاضیات را به پایان برد، و در سال 1901 به نکته ای برخورد که به نظر او تعارض یا پارادکس در منطق مجموعه ها می آمد. از آنجا که او عدد را بروفق منطق مجموعه ها تعریف می کرد، عدد اصلی عبارت است از «مجموعه همه مجموعه های مشابه با مجموعه داده شده »، پیدابود که پارادکس در ریاضیات رخ نموده است و راسل یا می بایست آن را حل کند یا قبول کند که تعارضی ناگشودنی در حوزه ریاضیات پیدا شده است.

تعارض یا پارادکس را می توان چنین تشریح کرد. مجموعه خوکها آشکار است که خودش خوک نیست. به عبارت دیگر عضو خودش نیست. ولی فرض وجود مجموعه ای از همه مجموعه هایی را که عضو خودشان نیستند، در نظر آورید. این مجموعه را X نام می نهیم و می پرسیم آیا X عضو خودش هست یا نه؟ از یک سو به نظر می رسد که نمی تواند عضو خودش باشد، زیرا اگر فرض کنیم که هست، منطقا چنین بر می آید که X «خاصه معرف » اعضای خویش است. واین خاصه معرف این است که هر مجموعه ای که این خاصه آن باشد، عضو خودش نیست. لذا X نمی تواند عضو خودش باشد از سوی دیگر به نظر می رسد که X باید عضو خودش باشد، زیرا اگر فرض را بر این بگذاریم که او عضو خودش نیست، منطقا بر می آید که عضو مجموعه هایی نیست که عضو خودشان نباشند. و این سخن بدان معنااست که X عضو خودش است. لذا چه با این فرض آغاز کنیم که X عضو خودش است، یا عضو خودش نیست، در هر دو صورت به خلف می رسیم. (تاریخ فلسفه، ج 8، ص 465-466).

12- در کتاب واژه نامه توصیفی منطق، پارادکس کانتر اینگونه تقریر شده است: «مجموعه تمام مجموعه ها را در نظر بگیرید. آیا این مجموعه با توان خود مساوی است یا بزرگتر از آن است؟ اگر مساوی آن باشد، این یک تناقض است; زیرا توان یک مجموعه بنا بر دلیلی بزرگتر از آن مجموعه است. و اگر نباشد، این هم تناقض گویی است; زیرا توان هر مجموعه، مجموعه ای است از مجموعه ها و بنابر این باید زیر مجموعه ای از تمامی مجموعه ها باشد و دلیلی داریم که زیر مجموعه یک مجموعه بزرگتر از آن نیست.» (ص 73).

13- - Sets Theory

14- برای معنا شناسی (البته خصوص معناشناسی صوری) سه شاخه ذکر می شود: الف)نحو: بررسی روشهایی که نشانه های یک زبان را می توان باهم ترکیب کرد و زنجیره هایی درست ساخت به دست آورد بخشی از نحو است. ب)معنا شناختی: بررسی تعبیر نشانه ها. ج)کاربرد شناسی: بررسی رابطه های میان نشانه ها، استفاده کنندگان از نشانه ها و محیط استفاده کنندگان. بنابراین بررسی شرایطی که گوینده ای کلمه ای را به کار می برد، بخشی از کاربرد شناسی است.

15- از زمان اف . پی . رمزی، (F.P.Ramsy) رسم چنین شده است که میان پارادکسهای منطقی (این پارادکسها اغلب پارادکسهای نظریه مجموعه ها نامیده می شوند) که به دلیل مشتمل بودن آنها بر نمادهای منطق و نظریه مجموعه ها تنها در زبان موضوعی ظاهر می شوند و پارادکسهای معنایی که به دلیل مشتمل بودنشان بر مفاهیم معنایی تنها در فرا زبان ظاهر می شوند، تمایز نهند.

16- Consistent formal theory

17- Formal solution

18- Philosophical solution

19- - Consisteney

20- - Self-reference

21- .Theory of types نظریه ای که راسل و وایتهد در Principia mathematica معرفی کردند. این نظریه با اصلاح قاعده های ساخت نظریه شهودی مجموعه ها، راه را بر پارادکسها می بندد. در نظریه ساده طبقه ها، (Simple theory of types) تنها اصلاحی که شده این است که به هر متغیری عددی نسبت داده شود که طبقه آن را مشخص کند و جمله هایی به شکل a ] عضو b است » درست ساخت هستند اگر و تنها اگر طبقه a یک واحد کمتر از عدد طبقه باشد. در نظریه منشعب طبقه ها، (Ramified type theory) به هر متغیری عددی هم برای مشخص کردن تراز، (Level) آن نسبت می دهند و قاعده هایی نیز برای تعیین ترازهای متغیر معرفی می کنند. این قاعده ها چنانند که مجموعه هایی را که با تعریفهای غیر حملی، (Impredicative) معرفی شده اند، طرد می کند.

22- Vicious-circle principle

23- Formation rules در یک نظام صوری به قاعده هایی می گویند که معین می کند چه ترکیبی از نمادها زنجیرهای درست ساخت هستند و چه زنجیرهایی درست ساخت نیستند.

24- Closed sentence ;به جمله یا قالبی صوری می گویند که متغیر آزاد نداشته باشد.

25- Open sentence ;به زنجیره ای از نمادها می گویند که شامل متغیرهای فردی آزاد است و اگر به جای متغیرها اسمهای مناسب قرار دهیم، جمله کاملی از آن ساخته می شود.

26- Propositional function ;تابعی است که مقدارهای آن تنها دو ارزش صدق و کذب است. مثلا« X پدر فردوسی طوسی است »، یک تابع گزاره ای است زیرا به ازای هر مقدار X ،ارزش جمله حاصل بستگی به این دارد که آنچه به جای X نهاده ایم، پدر فردوسی باشد یا نباشد.

27- Object language ;زبانی برای بحث درباره شیئها نه درباره زبانهای دیگر. به تبع این تعریف می گوییم جمله ای در زبان موضوعی است اگر و تنها اگر درباره یک عبارت زبانی نباشد. بنابراین «سقراط فیلسوف است » در زبان موضوعی است، اما «سقراط » پنج حرف دارد در زبان موضوعی نیست.

28- Metalanguage ;زبانی که برای بحث در باره زبان موضوعی به کار می رود. فرا-فرا زبان، زبانی است که برای بحث درباره فرازبان به کار می رود و همین گونه برای هر فرازبان بالاتر. جمله ای را در فرازبان است اگر و تنها اگر درباره عبارتی از زبان موضوعی باشد.

29- « زدس » کوته نوشت «زنجیره های درست ساخت » است که برگردان اصطلاح: [Well-FormedFormulas ] است که کوته نوشت آن [Wffs ] می باشد. آقای ضیاءموحد درباره این اصطلاح آورده است: «عبارتهایی از یک نظام صوری که بتوان درباره آنها این پرسش را که آیا قضیه های نظام هستند یا نه مطرح کرد. در هر نظام، قاعده هایی برای تعریف و تشخیص زنجیره های درست ساخت آن داده می شوند. این قاعده ها چنانند که این تشخیص را به روش مکانیکی ممکن می سازند در ضمن باید توجه داشت که تعریف زنجیره های درست ساخت، وابسته به ملاحظات صوری و ریاضی است و چه بسا زنجیره ای که در یک زبان صوری درست ساخت ساخته می شود; در زبان صوری دیگر درست ساخت نباشد. (واژه نامه توصیفی منطق، ص 105).