فرادید؛ دیل هارتلی؛ فرض کنید که به یک بازی حدس زدنی دعوت‌شده‌اید. در این بازی باید با اطلاعات ناقص یک انتخاب اجباری انجام دهید.
در کشوی میزم به اسکناس آمریکایی دارم: دو تا یک دلاری و یک اسکناس صد دلاری. کشو بسته است و نمی‌توانید داخلش را ببینید. با خودکارهای رنگی روی یکی از اسکناس‌ها نقطه آبی، روی یکی نقطه قرمز و روی یکی نقطه سبز گذاشتم. باید یک رنگ را انتخاب کنید. شما کدام را انتخاب می‌کنید؟
فرض کنید که "قرمز" را انتخاب کردید. من درب کشو را باز می‌کنم و یک اسکناس یک دلاری با نقطه سبز را خارج می‌کنم. اکنون می‌دانید که اسکناس 100 دلاری دارای نقطه سبز نبوده است. پس یا نقطه قرمز دارید (انتخاب شما) و یا آبی.
قبل از اینکه اعلام کنم چه اسکناسی را برنده شدید، این پیشنهاد را مطرح می‌کنم: همان قرمز را انتخاب می‌کنید یا مایلید انتخابتان را به آبی تغییر دهید؟ چه باید کرد؟ آیا اهمیتی هم دارد؟
این همان پارادوکس مونتی هال است که اولین بار در یک مسابقه تلویزیونی در دهه 1960 به نام "بیا معامله کنیم" مطرح شد و نام مجری برنامه "مونتی هال" را گرفت.
در پایان برنامه، دو شرکت‌کننده می‌توانستند حدس بزنند که جایزه بزرگ پشت درب شماره 1 یا 2 قرار دارد. پشت یک (یا گاهی دو) تا از درب‌ها جایزه کم‌ارزشی قرار داشت. اما گاهی اوقات پشت یکی از درب‌ها جایزه‌ای وجود داشت که کسی نمی‌خواست- مثلاً دو تا بز یا مقداری یونجه. با دو شرکت‌کننده و سه درب، حداقل یک حدس حتماً اشتباه است و ممکن است دو حدس اشتباه باشند.
مونتی هال همیشه اول یک درب اشتباه را باز می‌کرد. مثلاً فرض کنید که "بیل" و "بتی" دو رقیب نهایی هستند. بتی درب شماره 2 را انتخاب می‌کند و بیل درب شماره 3 را. مونتی اول درب شماره 2 را باز می‌کند و بتی می‌فهمد جایزه بزرگ را نبرده است، زیرا آن جایزه آخر مسابقه مشخص می‌شود. تبریک می گم خانم، شما برنده ماشین ظرف‌شویی، توستر یا صد دلار پول شدید. دیگر هیچ‌وقت زندگی شما مثل قبل نخواهد بود.
اکنون مونتی سؤالی مهم و اساسی برای بیل مطرح می‌کند: می‌خواهی درب شماره 3 را نگاه‌داری یا ترجیح می‌دهی آن را به درب شماره 1 تغییر دهی؟ بیل چه باید بکند؟
اکثر مردم- حتی کسانی که در دارای مدرک دکترای آمار و احتمال هستند- در این مسئله اشتباه می‌کنند. چرا انتخابمان را تغییر دهیم؟ هنوز هم احتمال یکی است، پنجاه- پنجاه. مگه نه؟ جواب هم آری و هم نه است.
شانس بیل در انتخاب اولیه‌اش 1:3 بود، نه 1:2. در آن شرایط، از هر سه شرکت‌کننده، دو نفر درب اشتباه را انتخاب می‌کنند که فقط بر اساس احتمال است. اما وقتی درب بتی از بازی حذف شود و بیل شانس تغییر انتخابش را داشته باشد، احتمال پیروزی‌اش به‌جای 1:3، احتمال 1:2 خواهد بود. از آنجائی که احتمال اشتباه در انتخاب اولیه‌اش 2:1 بوده است، پس باید این بار درب 1 را انتخاب کند. مرحله‌به‌مرحله این فرآیند را ببینیم:
- اگر بیل در اولین حدس خود درب دارای جایزه بزرگ را انتخاب کند، برنده می‌شود. اما تا آخر برنامه از این موضوع خبردار نمی‌شود. (انتخاب اجباری با اطلاعات ناقص)
- پس‌ازاینکه می‌فهمیم بتی برنده نشده است، بازهم بیل نمی‌تواند از حدس اولیه خود مطمئن باشد. احتمال درست بودن انتخابش 1:3 بود.
- اما وقتی درب انتخابیِ بتی حذف شد، شانس پیروزی بیل به پنجاه- پنجاه افزایش یافت. پس چرا باید انتخابش را تغییر دهد؟
- درواقع شانس بیل در این مرحله پنجاه- پنجاه نیست. احتمال پیروزی او همچنان 1:3 می‌باشد، زیرا این انتخاب را قبل از حذف شدن درب بتی کرده بود.
- زمانی که مونتی به بیل پیشنهاد تعویض درب 3 با 1 را می‌دهد، درواقع به او یک بازی جدید با شانس بیشترِ پیروزی پیشنهادشده است. احتمال پیروزی 1:2 نسبت به 1:3.
- مسئله اصلی این نیست که بیل باید درب انتخابی را تغییر دهد یا نه. این موضوع تنها یک مسئله جانبی است. مهم این است که بیل متوجه شود به پیشنهاد مونتی فرصتی برای یک بازی متفاوت و بهتر است.
آیا هنوز هم اسکناس با نقطه قرمز را می‌خواهید؟
منبع: PT
ترجمه: وب‌سایت فرادید
