رهیافت دوزبانی تارسکی

اشاره

در مقاله حاضر ابتدا چگونگی پیدایش مسئله صدق در لهستان معاصرِ تارسکی مورد بررسی قرار گرفته است و سپس مراحل ورود تارسکی به عرصه معناشناسی توضیح داده شده است. به علاوه ضمن تاکید بر روش خاص تارسکی در معناشناسی و حل مسائل آن، تعریف مسئله صدق تارسکی و پاسخ ویژه او ارائه می گردد و در نهایت خاطرنشان می شود که رهیافت دوزبانی تارسکی کلید درک پاسخ او به مسئله تعریف صدق است.

* * *

1. مقدمه

آغازگر بحث صدق در تفکر معاصر لهستان کازیمیرز تواردوسکی است که خود با هوسرل و ماینونگ از شاگردان فرانتس برنتانو فیلسوف برجسته اتریشی معاصر محسوب می شود⁽¹⁾ و از نظریه ارسطویی (کلاسیک) صدق که میراث برنتانو بود، دفاع می کرد. بحث درباب سرشت صدق به تدریج در میان شاگردان توادوسکی درگرفت و بزرگانی چون کوتاربینسکی، لزنیوسکی و لوکاسیه ویچ در آن شرکت کردند. کوتاربینسکی صدق را مطابقت و همخوانی با واقعیت دانست و لزنیوسکی احتمالاً برای نخستین بار در اروپا مطالعه منظمی درباب معناشناسی آغاز کرد.⁽²⁾ و درباب پارادوکس راسل درباب مجموعه ها و پارادوکس دروغگو وقت فراوانی صرف کرد. لوکاسیه ویچ نیز در طرد هرگونه تناقض از مبانی ریاضیات و منطق با دیگر فیلسوفان این حوزه (که به فیلسوفان مکتب لوف ورشو معروفند) همداستان شد. با این همه نباید پیشرفت فکری آنان را مستقل از تاثیرگذاری ریاضی دان و معرفت شناس برجسته معاصر، دیوید هیلبرت، مورد بررسی قرار داد. دل مشغولی و برنامه پژوهشی هیلبرت نیز حل پارادوکس ها از طریق اثبات سازگاری دستگاه های ریاضیات صوری شده بود اما او تعلیم مهمتری می داد. او می آموخت که مفاهیمی از قبیل سازگاری دستگاه های صوری، مفاهیمی هستند که به فراریاضیات تعلق دارند و تحلیل آن ها نیز لاجرم در فرازبان ریاضی انجام می گیرد. این اندیشه نتیجه می دهد که پژوهش درباب ریاضیات مستلزم به کارگیری دو زبان است، زبانی برای تحلیل اشیا و مقولات ریاضی (زبان موضوعی) و زبانی برای تحلیل خود ریاضیات (فرازبان). مطلب مهم و قابل تاکید همین است که در گوتینگن و ورشو 1930 تحلیل مفاهیم فراریاضی به کمک رهیافت دوزبانی روش رایجی بود و کسانی چون لوکاسیه ویچ و لزینوسکی در این مسیر گام می زدند. درواقع در آن دوره اهتمام متفکران لهستانی به کاربرد رهیافت دوزبانی در حل مسائل فراریاضی بدان حدّ رسیده بود که با عنوان «روش لهستانی» از آن یاد می کردند.⁽³⁾

2. مراحل ورود تارسکی به معناشناسی

به طور کلی می توان از منظر ورود به معناشناسی، تفکر تارسکی را به دو مرحله متفاوت تقسیم کرد: مرحله اول به قبل از 1931 یا 1935 و مرحله دوم به بعد از آن مربوط می شود.

در مرحله اول تارسکی تحت تاثیر پژوهش های هیلبرت قرار داشت. همچون او به مفاهیم فراریاضی می پرداخت و همچون او در تحلیل مفاهیم مزبور از رهیافت فرازبانی سود می جست. اما نکته مهم این است که تارسکی در آن دوره مفاهیم فراریاضی (و حتی معناشناختی) را به عنوان مفاهیمی نحوی (syntactic) تلقی می کرد.⁽⁴⁾ او به محض مواجهه با مفهومی فراریاضی به جای آنکه آن را به زبان موضوعی ارجاع دهد به فرازبان می برد و مورد بررسی و تحلیل قرار می داد. (مثلاً می توان به تحلیل او از مفاهیم تمامیت، جزمیت و شاخه پذیری فرانکل در این خصوص اشاره کرد.)⁽⁵⁾

اما در مرحله دوم، تارسکی از اعتقاد به تحلیل همه ابعاد زبان یا تحلیل همه مفاهیم فرازبانی در نحو منطقی سرباز زد و با انتخاب رویکرد معناشناختی از نحوگرایی افراطی دست کشید. او معناشناسی (semantic) علمی را به تدریج بنیان نهاد و آن را بررسی روابط اشیای زبان شناختی و مدلول های آنها لحاظ کرد و از آن جا که این گونه روابط با مفاهیمی نظیر نام، دلالت، صدق پذیری، تعریف و ترادف، معنا، اشاره کردن بیان می شوند، معناشناسی به دانش تبیین کننده مفاهیم مذکور تعریف می شود.⁽⁶⁾

به عبارت دیگر تارسکی در مرحله دوم تحلیل مفاهیمی همطراز مفاهیم فراریاضی (مفاهیم معناشناسانه) را همچنان در دستور کار داشت و همچنان رهیافت فرازبانی هیلبرتی را در تحلیل آنها بکار می برد و آنها را نه در زبان موضوعی بلکه در فرازبان مورد بررسی قرار می داد. لکن، مفاهیم مورد نظر را مفاهیمی سمانتیکی و معناشناختی تلقی می کرد. یعنی تارسکی رهیافت دوزبانی را از حیطه نحو منطقی به قلمرو معناشناختی بسط داد. و چنانکه خواهیم گفت تعریف «صدق» تنها گام نخستین او در این برنامه پژوهشی بود.⁽⁷⁾ او اندکی بعد اهمیت رهیافت دوزبانی را در مشخص ساختن معانی واژه های دیگری نظیر شاخه پذیری، مقولاتی بودن و نتیجه منطقی نشان داد.

البته در روزگار او تمام تلاش ها برای تعریف دقیق مفاهیم معناشناختی با شکست مواجه شده و هرجا و در هر پژوهشی که این مفاهیم ظاهر می شدند؛ درعین حال که تحقیق واجد پیش فرض های کاملاً مجاز و به ظاهر بدیهی بود، غالبا تناقض ها و تعارض هایی رخ می نمود (مانند تناقض گرلینگ نلسون و تناقض ریچارد) و این مساله به ظاهر لاینحل می نمود که چگونه می توان تبیینی از مفاهیم مزبور ارایه داد که منجر به تناقض و تعارض نگردد. این مساله در تعریف صدق با هیبت و عظمت بیش تری خودنمایی می کرد. قصه آزاردهنده تعریف صدق و جمله صادق آن بود که منطق دانان و فیلسوفان هرگاه درصدد تعریف آن برمی آمدند و با تکیه بر آموزه ارسطویی «جمله صادق را جمله مطابق با واقع» لحاظ می کردند، ناگهان خود را با تناقض دروغگو مواجه می دیدند.⁽⁸⁾

3. روش خاص تارسکی در معناشناسی

به هرحال تارسکی با تنقیحِ مفهومی و تعریف «جمله صادق» و رفع مشکلات آن درگیر شد اما همواره باید به یاد داشت که او در این پژوهش تنها قابلیت «روش خاصی» را مورد آزمون قرار داده بود و بر آن بود تا درصورت موفقیت روش مزبور آن را در تعریف دیگر مفاهیم معناشناسانه به کار گیرد.

چنانکه توضیح خواهیم داد ماحصل صدق پژوهی تارسکی آن بود که تعریف به لحاظ صوری صحیح و به لحاظ مادی و محتوایی کافی جمله صادق در زبان موضوعی و محاوره یی (colloquial language) ناممکن است و نتیجه چنان تعریفی رویاروشدن با تنازع دروغگو است و تنها اگر زبان موضوعی صوری شده یی را مورد نظر قرار دهیم در آن صورت می توان در فرازبان آن به چنان تعریفی دست یازید.

تفکیک میان زبانی که برای آن یک مفهوم معناشناختی تعریف می گردد (زبان موضوعی) از زبانی که در آن مفهوم مزبور تعریف می شود (فرازبان)، صوری کردن زبان موضوعی، استفاده از شیوه بازگشتی و ابتنای تعاریف بر مفهوم کلیدی و پایه ای صدق پذیری و... کمابیش، روش خاص تارسکی را در تعریف مفاهیم معناشناختی آشکار می سازند.

در این مختصر نمی توان شرح داد که شکل گیری دانش معناشناسی و خصوصا تحلیل معناشناختی مفهوم «صدق» تنها با مبارزه یی جدی علیه رهیافت تک زبانی راسل و آرای زبان شناختی ویتگنشتاین و معتقدات معرفت شناختی کسانی چون کوفمان و رایشنباخ و همراه کردن متفکران بزرگی چون کارناپ فراهم آمده است.

4. مسأله تعریف صدق

تارسکی می نویسد که مساله اساسی او عبارت است از تعریفی قانع کننده از صدق. یعنی تعریفی که از لحاظ صوری صحیح و از لحاظ مادی و محتوایی کافی باشد.⁽⁹⁾ البته چنان که برخی متذکر شده اند او در عمل بیش تر دست یابی تعریفی از صدق را که به لحاظ مادی کافی باشد مورد نظر داشت. بر این مطلب نیز باید تاکید نمود که تارسکی از جمله صادق خبر می گیرد و از صدق امور دیگری نظیر قضاوت باورها و هیجان ها و... یا از زیبایی حقیقی و غیره پرسش نمی کرد. و تنها به صدق جملات خبری می پرداخت.⁽¹⁰⁾ شکی نیست که در این خصوص او تعریف ارسطو از صادق بودن جملات خبری را می پذیرفت. حسب رأی ارسطو جمله صادق جمله یی است که بگوید: «حالت امور چنین و چنان است و حالت امور چنین و چنان باشد»⁽¹¹⁾ (نظریه مطابقی صدق) اما تارسکی معتقد بود که محتوای سخن ارسطو بیان دقیقی ندارد و شکل و صورت آن ناکافی است.⁽¹²⁾ بنابراین ضروری است تا صورت بندی جدیدی از آن به عمل آید و مسئله تارسکی به صورت جزئی تر عبارت است از همین صورت بندی دقیق نظریه مطابقی و ارسطویی صدق جمله.⁽¹³⁾ او خاطرنشان می سازد که این هدف را می توان و باید در دو سطح تعقیب کرد: در مورد جمله خاصی که صادق است و در مورد همه جملات صادق. دست یابی به هدف نخست چندان مشکل نیست و تنها صورت بندی کلی صدق است که با مشکلات به ظاهر لاینحل روبه رو است. اما یک جمله خاص مثل «برف سفید است» براساس رای ارسطو، تحت چه شرایطی صادق خواهد بود؟ پاسخ آن است که اگر در عالم خارج واقعا برف سفید باشد. به عبارت دیگر:

«برف سفید است» اگر و فقط اگر برف سفید باشد.

این بیان شرط لازم و کافی صادق بودن جمله مزبور را دارا است و به صورت یک هم ارزی (دوشرطی) منطقی نمایش داده شده است و می توان از آن به عنوان هم ارزی صدق (یا صورت بندی منطقی T برای جمله خاص) یاد کرد. (مختصرا صورت بندی T یا هم ارزی صدق هم خوانده می شود).

هم ارزی فوق دو طرف راست و چپ دارد. در طرف راست آن عبارت «برف سفید است»، داخل علامت نقل قول قرار داده شده و در سمت چپ هم ارزی، همان عبارت بدون علامت نقل قول آمده است. عبارت داخل علامت نقل قول نام جمله است و عبارت بدون علامت نقل قول خود جمله. اما چرا در سمت راست هم ارزی به جای خود جمله، به نام آن نیاز داریم؟

پاسخ آن است که از دیدگاه دستور زبان، بیانی به شکل «× صادق است»، فقط هنگامی یک جمله معنی دار است که × یک نام باشد. به عبارت دیگر موضوع جمله تنها می تواند یک اسم یا عبارتی با کارکرد اسمی باشد. ثانیا بنابر قراردادهای اساسی در مورد استفاده از زبان، در هر بیانی پیرامون یک شی ء باید از نام آن شی ء بهره گرفت نه خود آن. پس اگر بخواهیم چیزی درباره جمله ای بگوئیم، باید از نام آن جمله استفاده کنیم نه از خود آن.

به هرحال می توان نتیجه گرفت که براساس نظریه مطابقی صدق، شرط لازم و کافی بودن یک جمله خاص بنام P را باید به شکل کلی زیر بیان کرد:

(T)«P» صادق است، اگر و فقط اگر P

اما صورت بندی T تنها بیانگر یک تعریف جزئی از صدق است. یعنی گذشته از آن که صورت بندی مزبور یک جمله نبوده و تنها طرح و صورت و فرم یک جمله است، هیچ نمونه و مصداقی از آن را نیز نمی توان بیش از یک «تعریف جزئی از صدق» دانست. این طرح را فقط در پاسخ به این پرسش که فلان «جمله خاص» تحت چه شرایطی صادق است می توان مورد استفاده قرار داد. بنابراین جای طرح این پرسش اساسی باقی است که اگر بخواهیم تعریفی مطابقی و ارسطویی از اصطلاح «جمله صادق» ارائه دهیم که عام، کلی و فراگیر بوده و درباب همه جملات صادق یک زبان (و نه فقط یک جمله خاص آن) به کار رود، تعریف مزبور چگونه بیان خواهد شد.

تارسکی تاکید می کند که مسأله اساسی او در پژوهش هایش درباب صدق، همین مسأله است: «صورت بندی دقیق تحلیل ارسطویی صدق درباب هر جمله صادق».

به علاوه تارسکی دست یابی به صورت بندی کلی صدق جملات را دست یابی به چنان تعریفی از صدق لحاظ می کند که به لحاظ محتوا و مضمون (ماده) کفایت دارد.⁽¹⁴⁾

5. پاسخ تارسکی به مسئله صدق

تارسکی قبل از بیان پاسخ خود متذکر می شود که «جمله ها در زبان ها قرار دارند» یعنی هرگاه از جمله سخن می گوئیم و فی المثل می پرسیم که معنای یک یا هر جمله صادق چیست؟ لاجرم به جمله یا جملات زبانی خاصی توجه داریم. او می نویسد:

«همواره باید مفهوم صدق را، مانند مفهوم جمله، به یک زبان خاص مربوط بدانیم، زیرا واضح است که اگر جمله ای در یک زبان صادق باشد، می تواند در زبان دیگری دروغ یا بی معنا باشد»⁽¹⁵⁾

و در جای دیگر می نویسد:

«مفهوم صدق از لحاظ محتوا و دلالت، اساسا به زبانی که در موردش به کار می رود، وابسته است. فقط هنگامی می توانیم از صدق و کذب یک جمله سخن بگوئیم که آن را بخشی از یک زبان خاص درنظر بگیریم.»⁽¹⁶⁾

با لحاظ آنچه نقل شد قید دیگری به مسأله اساسی تارسکی افزوده می شود. گفتیم که او در صدد است تا صورت بندی دقیقی از تحلیل ارسطویی صدق درباب هر جمله صادقی ارائه دهد. اما اینک باید متذکر شد که او می خواهد هر جمله صادق «فلان زبان معین» را مورد بررسی قرار دهد و مشمول صورت بندی دقیقی از تفسیر ارسطویی و مطابقی صدق گرداند.

از این رو تارسکی با بیان این مطلب که تعریف صدق جمله ها همواره معطوف و متکی به زبانی است که جمله ها در آن قرار دارند (تعریف نسبی صدق جمله)، لاجرم باید مسأله اساسی خود را در زبان های مختلف مطرح کند. یعنی مثلاً بپرسد که آیا در زبان الف می توان تعریف ارسطویی و معناشناختی صدق هر جمله را دقیقا مشخص کرد؟ در زبان ب چطور؟ و همین طور الی آخر. در این جا است که خود را با این مسأله مواجه می بیند که: اساسا چند نوع زبان داریم؟ و قرار است در چند زبان مسأله تعریف صدق را مورد بررسی قرار دهیم؟ در آثار تارسکی به طور کلی دوگونه طبقه بندی زبان به چشم می خورد. در طبقه بندی اول تارسکی ابتدا زبان را به محاوره یی و صوری تقسیم می کند و سپس زبان های صوری محدود را از نامحدود تفکیک کرده و در ارزیابی های صوری دارای مرتبه محدود نیز سه نوع اول، دوم و سوم را از هم متمایز می کند. اما در طبقه بندی دوم ابتدا زبان های محدود را از نامحدود تفکیک کرده و سپس به بیان انواع زبان های نامحدود می پردازد.

ما در این مقاله به بیان و شرح طبقه بندی اول زبان ها خواهیم پرداخت که مفصل تر و کامل تر از طبقه بندی دوم است و در نمودار زیر نشان داده شده است:

زبان:

- محاوره یی

- صوری شده:

- دارای مرتبه محدود:

- نوع اول

- نوع دوم

- نوع سوم

5 1. تعریف زبان محاوره یی و زبان صوری شده

به طور کلی تارسکی دو ویژگی بنیادی زبان محاوره یی را در قیاس با زبان صوری ذکر می کند و براساس آنها طرح تحقیقی خود را تعقیب می کند. او می نویسد:

[اولاً]... زبان محاوره یی، محدود، بسته یا کران دار نیست. معلوم نیست که چه لغاتی ممکن است به این زبان اضافه شود و چه لغاتی به طور بالقوه به آن تعلق دارد. نمی توانیم از لحاظ ساختاری، آن عبارت هایی را که جمله نامیده می شوند، مشخص کنیم، چه رسد به آن که، جمله صادق را معین سازیم.⁽¹⁷⁾

به عبارت دیگر زبان طبیعی دارای ساختار معین و مشخص نیست: فهرست کامل لغات (علامت ها) و جملات آن در دسترس قرار ندارد چراکه قاعده یی وجود ندارد که براساس آن معین کنیم دقیقا چه شکلی از عبارات می تواند به عنوان جمله تلقی گردد. یک عبارت خاص ممکن است در زمینه معین به عنوان یک جمله عمل کند، درحالی که عبارتی با همان شکل در زمینه دیگری چنان عمل نکند. به علاوه مجموعه جملات زبان محاوره یی حداقل به طور بالقوه نامتناهی است.

اما گذشته از فقدان ساختار مشخص، ویژگی دوم زبان محاوره یی آن است که دارای عمومیت است. یعنی این زبان چنان لحاظ می شود که برای بیان هرآنچه بیان شدنی است، تسهیلات کافی در اختیار دارد: نه تنها واجد لغات و مفردات و جملات است، بلکه اسامی این گونه امور نیز در آن یافت می شود و حتی مفاهیم معناشناختی نظیر صدق، نام و معرّف که از رابطه میان اشیای زبان شناختی و مدلولات آن ها حکایت می کنند نیز در آن گنجانده شده اند.

در نقطه مقابل زبان های محاوره ای، زبان های صوری شده قرار دارند. این زبان ها از یک سو واجد ساختار صوری مشخص هستند و معنای هر عبارتی در آن ها به طور یگانه، توسط شکل آن معین می شود. یعنی منحصرا با نگاه به یک عبارت باید بتوان تصمیم گرفت که عبارت مذکور جمله است یا نه.⁽¹⁸⁾ به علاوه زبان های صوری شده واجد صفت عمومیت نیستند.

5 2. انواع زبان های صوری شده

چنان که گفتیم تارسکی زبان های صوری شده را بر دو نوع می داند: زبان های صوری شده دارای رتبه محدود و زبان های صوری شده دارای رتبه نامحدود. او سپس زبان های دارای رتبه محدود را بر سه نوع دانسته که در مجموع با لحاظ یک نوع زبان دارای رتبه نامحدود، چهار نوع زبان به قرار زیر خواهیم داشت:

1. زبان هایی که همه متغیرهایشان به یک «مقوله معناشناختی» (semantical category)تعلق

دارند (نمونه آن ها زبان حساب مجموعه هاست).

2. زبان هایی که تعداد مقوله های دربردارنده متغیرهایشان بیش از یک اما محدود است (نمونه آنها زبان منطق نسب دوحدی است).

3. زبان هایی که متغیرهایشان به تعداد نامحدودی از مقوله های متفاوت تعلق دارند. اما رتبه این متغیرها از عددِ از پیش تعیین شده N افزون نمی شود. (نمونه اینگونه زبان ها زبان منطق نسب چندحدی است).

این سه گونه زبان دارای رتبه محدود هستند. اما رتبه زبان های نوع چهارم نامحدود است و در تعریف آنها می گوییم:

4. زبان هایی که دربردارنده متغیرهایی با رتبه بالای دلخواه هستند. (که نمونه آنها نظریه عمومی مجموعه هاست).⁽¹⁹⁾

5 3. مقوله معناشناختی

ملاحظه می شود که برای فهم دسته بندی فوق از زبان ها لازم است با مفهوم کلیدی «مقوله معناشناختی» و نیز «محدود بودن یا نبودن مقوله های دربردارنده متغیرها» آشنا شویم.

تارسکی مفهوم «مقوله معناشناختی» را از لزنیوسکی و به واسطه او از هوسرل وام گرفته است.⁽²⁰⁾ او از ارائه یک تعریف ساختاری دقیق از «مقوله معناشناختی» بنابر دلایلی صرف نظر کرده و تنها به صورت بندی تقریبی آن بسنده می کند. تارسکی آن را مفهوم و قالبی برای وحدت بخشیدن عبارات و هرگونه عناصر زبان شناختی نظیر نام ها، توابع جمله یی و متغیرها لحاظ می کند. از این رو برای واحد قلمداد کردن عبارات به بیان شرائطی می پردازد که توجیه کننده چنان اتحادی باشند. تارسکی می نویسد:

دو عبارت به یک مقوله معناشناختی تعلق دارند اگر: اولاً یک تابع جمله یی وجود داشته باشد که شامل یکی از این عبارت ها باشد. ثانیا هر تابع جمله یی شامل یکی از آنها، با تعویض آن دو با همدیگر، باز هم یک تابع جمله یی باقی بماند.⁽²¹⁾

به هرحال نتیجه کلام تارسکی آن است که مقوله معناشناختی از یک سو عامل وحدت بخش برخی عبارت ها است و از دیگرسو عامل دسته بندی و تجزیه عبارت های زبان است و به هرحال زبان واجد چنین واحدهای درونی است.

ساده ترین مثال های مقولات معناشناختی از نظر تارسکی عبارتند از: مقوله توابع جمله یی و مقولات شامل نام افراد، دسته های افراد، روابط دوحدی میان افراد، و مانند آن. به علاوه متغیرهایی که نشان دهنده نام مقولات معناشناختی هستند (و نیز عبارت های دارای متغیر) یک مقوله واحد را تشکیل می دهند.

به هرحال نظریه مقولات معناشناختی نظریه ای است برای طبقه بندی اموری نظیر عبارات، توابع جمله یی، اسامی افراد و متغیرهای نمایش دهنده افراد و گنجاندن امور مذکور تحت عناوینی چون مقوله، نوع و نیز رتبه بندی کردن مقولات و الی آخر.

5 4. طبقه بندی زبانها براساس مقوله معناشناختی

تارسکی براساس نظریه مقوله معناشناختی سعی می کند تا نحوه تفکیک عبارت های زبانی را روشن سازد و توضیح دهد که در یک زبان مفروض کثرت مقولات معناشناختی چه مقدار است. آیا عبارت ها و به ویژه متغیرهای آن زبان به تعداد متناهی از مقوله ها تعلق دارند یا به تعداد نامتناهی؟ و اگر تعداد مقوله هایی که عبارت ها و متغیرهای زبان مذکور در آن گنجانده شده اند نامتناهی است، رتبه های این مقولات از بالا محدود است یا نه؟

براین اساس است که از نظر تارسکی می توان به نحو خاصی زبان ها را دسته بندی کرد:

زبان های دارای رتبه نامحدود زبان هایی هستند که مقولات معناشناختی آنها دارای رتبه یی از بالا نامحدود است.

اما زبان های دارای رتبه محدود زبان هایی هستند که مقولات معناشناختی آنها از بالا محدود است. و این نوع اخیر زبان ها خود بر سه قسم اند:

آن ها که همه متغیرهایشان به یک مقوله معناشناختی واحد تعلق دارند،

آن ها که تعداد مقوله های دربردارنده متغیرهایشان بیش از یک اما محدود است،

و آن ها که متغیرهایشان به تعداد نامحدودی از مقولات تعلق دارند اما رتبه این متغیرها از عددِ از پیش تعیین شده N افزون نمی شود.⁽²²⁾

5 5. تعریف معناشناختی و کلی جمله صادق در زبان های مختلف

گفتیم که مسئله اساسی تارسکی «صورت بندی دقیق تحلیل ارسطویی صدق درباب هر جمله صادق» است و نیز توضیح دادیم که او حل مسئله حاضر را درگرو تعیین زبانی می داند که قرار است صدق جملات آن را تعریف نماید. اینک پس از آشنایی با طبقه بندی خاص تارسکی از زبان ها نوبت آن فرارسیده است که متناسب با هریک از زبان های موجود در طبقه بندی او مسئله مذکور را مطرح کرده و پاسخ تارسکی را دریافت داریم، اما به دلیل پرهیز از پیچیده و فنی کردن بحث هدف خود را تنها در زبان محاوره ای و در زبان صوری شده نوع اول دنبال می کنیم.

5 5 1. تعریف معناشناختی و کلی جمله صادق در زبان محاوره ای.

درباره ویژگی های زبان محاوره یی در صفحات گذشته مختصرا گفتگو کردیم و فقدان ساختار صوری و برخورداری از صفت عمومیت را به عنوان دو ویژگی عمده آن از نظر تارسکی برشمردیم. حال مسئله اصلی تارسکی را نسبت به زبان محاوره یی مورد بررسی قرار می دهیم: آیا می توان تعریفی ارسطویی و کلی از جملات صادق زبان محاوره یی ارایه کرد؟ تارسکی به این سوال پاسخ منفی می دهد و پاسخ منفی او یکی از مهم ترین ادعاهای او درباب صدق به شمار می رود.

تارسکی می پذیرد که تعریف ارسطویی و مطابقی صدق را می توان در مورد برخی از جملات صادق زبان محاوره یی اعمال کرد. یعنی وقتی می گوییم «×» یک جمله صادق است منظورمان آن است که:

(1). × یک جمله صادق است اگر و فقط اگر P. و برای فراهم آوردن یک تعریف واقعی به جای Pدر (1) یک جمله و به جای «×» یک نام منفرد برای آن جمله قرار می دهیم. با داشتن نام منفردی برای جمله مذکور، می توانیم توضیحی از نوع (2) عرضه کنیم:

(2). «برف می بارد» یک جمله صادق است اگر و فقط اگر برف ببارد.

در این صورت بندی نام جمله برف می بارد بدین گونه ساخته شده است که جمله مذکور را داخل علامت نقل قولی گذاشته ایم. این شیوه نام گذاری جمله از نظر تارسکی معمولی ترین و مهم ترین نوع نام گذاری جمله ها است.

شیوه دیگر نام گذاری جمله ها، شیوه توصیفی ساختاری است که بنابر آن روش واژه های تشکیل دهنده بیانی را که مدلول نام است و علامت هایی که هر واژه از آن ها تشکیل شده و نیز ترتیب توالی این واژه ها و علامت را توصیف می کنیم. به هرحال بنابراین روش ما می توانیم به هر نام واجد علامت نقل قول یک نام توصیفی ساختاری نسبت دهیم که درعین حال که از همان مدلول سابق (همان جمله) دلالت می کند، دارای علامت نقل قول نیست. در آن صورت می توان به جای (2)، صورت بندی (3) را قرار داد:

(3). عبارتی متشکل از دو واژه، که واژه اولِ آن از حروف بِ، رِ، فِ (با همین ترتیب) و واژه دوم آن از حروف میم، یِ، بِ، الف، رِ، دال (با همین ترتیب) تشکیل شده، صادق است اگر و فقط اگر برف ببارد.

جملاتی شبیه (2) و (3) متناظر با جمله (1) هستند و در وضوح مضمون و صحت شکل آن ها تردیدی نیست اما به هرحال هرسه جمله تعریفی جزئی از صدق ارائه می دهند، درحالی که ما درصددیم تا صورت بندی از صدق معناشناختی جملات بیاوریم که کلی و عام باشد.

حال اگر بخواهیم صورت بندی های (1) یا (2) یا (3) را (که بنابه تقریرهای بعدی تارسکی همان صورت بندی T است) به عنوان صورت بندی کلی و عام صدق جملات تلقی کنیم، ناگهان با مشکلات جدی مواجه می شویم. چراکه گاه به موقعیت هایی برخورد می کنیم که در آن ها جملاتی شبیه 2 و 3 در ترکیب با پیش فرض های دیگری که دارای وضوح شهودی کمتری هم نیستند، به تناقضاتی آشکار منجر می شوند؛ تناقضاتی نظیر تناقض دروغگو.

تارسکی صورت بندی ژان لوکاسیه ویچ، منطق دان برجسته لهستانی را از تناقض دروغگو به قرار زیر نقل می کند:

جمله زیر را درنظر بگیرید:

(1). «جمله نوشته شده در سطر 2 صفحه n این مقاله صادق نیست»

به منظور خلاصه سازی این جمله را با «S» نمایش می دهیم. بنابر هم ارزی T داریم:

(2). «S» صادق است اگر و فقط اگر جمله نوشته شده در سطر 2 صفحه n این مقاله صادق نباشد.

(3). از سوی دیگر با درنظر گرفتن معنای نمادها به طور تجربی می دانیم که: «S» همان جمله نوشته شده در سطر 2 صفحه n این رساله است.

حال با استفاده از قاعده آشنایی از نظریه همانی (یعنی قاعده لایب نیتس) از 3 می توانیم نتیجه بگیریم که به جای عبارت:

«جمله نوشته شده در سطر 2 صفحه n این رساله» در (1) نماد «S» را قرار دهیم، در آن صورت خواهیم نوشت:

(4). «S» صادق است اگر و فقط اگر S صادق نباشد.⁽²³⁾

ملاحظه می کنیم که آشکارا با تناقضی مواجه شده ایم. اما در مواجهه با تناقض دروغگو و هرگونه تناقضی نباید به راهی رفت که آن را شوخی هایی حاکی از ذکاوت مردان بزرگ تلقی نمود. بلکه ضرورت دارد به عنوان پدیده هایی کاملاً جدی و قابل تامل نگریسته شوند. مساله این است که چگونه وقتی با مقدماتی بدیهی تفکری را آغاز می کنیم و با استدلال هایی مطمئن به جلو می رویم ناگهان به تناقض برخورد می کنیم؟

برای حل این مسئله چاره ای نیست جر آنکه در مقدمات و قواعد استدلال های خود بازنگری کنیم و احیانا برخی از آن ها را معیوب یافته و اصلاح کنیم. بدیهی است وقتی در زبانی نظیر زبان محاوره یی هم به تناقض دروغگو برخورد کنیم لازم است چنان عمل نمائیم. اگر به فرضیاتی که منجر به تنازع دروغگو شده اند مراجعه شود در آن صورت فرضیات زیر یافت می شوند:

اول آنکه تلویحا فرض کرده ایم که زبانی که تنازع دروغگو در آن ساخته می شود زبانی است که علاوه بر عبارت ها شامل نام آن ها و نیز اصطلاحات معناشناختی (نظیر «صادق») راجع به جملات نیز می باشد. و حتما فرض کرده ایم که تمام جملاتی که از این اصطلاحات استفاده مناسب می کنند نیز در همین زبان قابل تبیین و تعریف هستند. زبانی با این خصوصیات را «زبانی از لحاظ معناشناختی بسته» می نامیم.

دوم آنکه فرض کرده ایم که تمام قوانین منطق در آن زبان برقرارند.

و سوم آنکه فرض کرده ایم که عبارتی تجربی مانند حکم (3) در آن زبان قابل صورت بندی و تبیین است. حال ببینیم کدام یک از آن فرض ها عامل پیدایش تنازع دروغگو بوده است: فرض سوم چندان اساسی نیست چراکه بدون آن هم می توان تنازع دروغگو ساخت درحالی که فرض های اول و دوم اساسی اند پس حداقل یکی از آن ها باطل است. اما فرض دوم قابل رد کردن نیست و اساسا امکان ندارد منطق را عوض کنیم. پس فقط به رد فرض اول می پردازیم و تصمیم می گیریم که دیگر از هیچ زبانی که به لحاظ معناشناختی بسته باشد استفاده نکنیم.

نتیجه آن که ریشه پیدایش تناقض دروغگو در زبان محاوره یی، صفت بسته بودن یا عام بودن زبان مذکور است. چنان که گفتیم در یک جمع بندی ساده این زبان چنان است که در آن لغات منفرد و جملات و اسامی آن ها و واژگان معناشناختی نظیر صدق وجود دارند. درنتیجه برای هر جمله یی که در زبان معمولی صورت بندی می شود، می توانیم جمله یی بسازیم که صدق یا کذب جمله اول را ادعا کند و با یک تمهید اضافی می توانیم جمله یی در آن زبان پدید آوریم که درباره خود اظهار نظر کند. یعنی جمله یی که مدعی است خود صادق (یا کاذب) است و این همان تناقض دروغگو است.

از نظر تارسکی تحلیل و ریشه یابی تناقض دروغگو وظیفه حتمی محققی است که به تعریف معناشناختی و کلی صدق کمر همت می بندد.

به هرحال تارسکی معتقد می شود که هرگونه تلاشی برای بازسازی تعریفی معناشناختی و عام از جمله صادق لزوما با تناقض مواجه می گردد و توام با شکست است و هیچ راه گریزی یافت نمی شود.

تارسکی ظهور تناقضات (نظیر تناقض دروغگو) را در سرشت و ساختار زبان محاوره یی مشاهده می کند، چراکه: زبان محاوره یی برخلاف زبان های علمی عمومیت دارد. یعنی نباید هیچ واژه ای در زبان دیگری پیدا شود که به این زبان قابل ترجمه نباشد. به دیگر سخن اگر به طرز معنی داری راجع به چیزی حرف برنیم باید بتوانیم به زبان محاوره ای نیز در آن خصوص سخن بگوییم. حال اگر بخواهیم عمومیت زبان محاوره ای را در بررسی های معناشناختی (مثلاً در تعریف عام صدق جملات) حفظ کنیم، باید علاوه بر جملات و دیگر عبارات زبان، نام این جملات و عبارات و نیز جملاتی شامل این نام ها و عبارت های معناشناختی ای نظیر جمله صادق، نام، دلالت و غیره را نیز در زبان مزبور راه دهیم. اما همین امر سبب می شود که تنازعات معناشناختی نظیر تنازع دروغگو نیز وارد زبان محاوره یی شوند. در یک کلام، این تنازعات نشان می دهند که هروقت زبانی همانند زبان روزمره عام باشد و قوانین منطق در آن صادق باشد، ناسازگار خواهد شد.

به نظر تارسکی، به طور کلی می توان گفت که:

اگر در زبانی شرط های زیر برقرار باشد، چنان زبانی لزوما ناسازگار است:

1. به ازای هرجمله ای که در آن زبان ظاهر می شود، نام معینی برای آن جمله نیز در زبان مذکور ظاهر شود.

2. هر عبارت به دست آمده از صورت بندی T با جایگزین کردن نماد P با جمله یی از زبان و جایگزین کردن نماد «P» با نام آن جمله، یک جمله صادق از آن درنظر گرفته شود.

3. یک پیش فرض (مانند «S یک جمله صادق نیست» همان S است) که از لحاظ تجربی صحیح باشد، در زبان مورد نظر قابل صورت بندی باشد و یک جمله صادق لحاظ شود.

4. قواعد معمول منطق در آن برقرار باشد.⁽²⁴⁾

552. تعریف معناشناختی و کلی جمله صادق در زبان صوری شده نوع اول.

درباره ماهیت زبان های صوری شده از نظر تارسکی توضیح مختصری قبلاً ارائه شد و گفتیم ساختار مشخص صوری داشتن و فقدان ویژگی عمومیت سبب می شود که زبان های صوری در نقطه مقابل زبان محاوره ای قرار داشته باشند. به اشاره نیز گفته شد که ویژگی دوم عاملی است تا به هنگام پژوهش پیرامون یک علم قیاسی صوری شده، میان زبانی که درباره اش حرف می زنیم و زبانی که در آن حرف می زنیم تمایز قائل شویم. زبان نخست را زبان موضوعی (object-language) و زبان دوم را فرازبان (meta-language) می نامیم.

اینک نوبت آن رسیده است تا درباره ساختار صوری زبان نوع اول و نیز فرازبان (و فرانظریه) آن، از نظر تارسکی، سخن بگوئیم و پس از آن، درباب امکان یا عدم امکان تعریف معناشناختی و کلی «صدق» (و جمله صادق) در این گونه زبان (باز هم از نگاه تارسکی) وارد بحث شویم.

5 5 2 1. ساختار صوری زبان نوع اول. تارسکی زبان حساب مجموعه ها را نمونه ای از زبان صوری شده نوع اول معرفی می کند و ساختار صوری آن را چنین توضیح می دهد که عبارت های این زبان از دو نوع علامت ساخته شده است. علامت ثابت ها و علامت متغیرها. علامت نفی N، علامت جمع منطقی A، سور عمومی ò و سرانجام علامت شمول چهار نوع از ثابت های این زبانند و در مورد متغیرها باید گفت که: اصولاً هر دسته دلخواهی از نمادها را می توان به عنوان متغیر استفاده کرد، به شرط آنکه تعداد آن ها محدود نباشد و از لحاظ شکل با ثابت ها فرق داشته باشند. (مانند× ¨ ،× ¯ ، × ¯¨). در تعبیر شهودی زبان که در این جا مد نظر است، متغیرها نمایان گر نام مجموعه های افراد هستند که عبارت های زبان حساب مجموعه ها یا ثابت ها و متغیرهای تنها هستند و یا مجتمعی از این علامت ها که پشت هم می آیند (مثل × ¯ وN1 × ¨ و × ¨ N× ¯)

تارسکی سپس به فرازبان و فرانظریه حساب مجموعه ها می پردازد و متذکر می شود که اولاً برشماری علامت ها و عبارت هایی که در فرازبان مورد استفاده قرار می گیرند و ثانیا ساختِ دستگاهی از اصول موضوعه که برای برپا داشتن فرانظریه کافی باشند ضرورت دارد. بنابر توضیحات او عبارت هایی که در فرازبان مورد استفاده قرار می گیرند، بر دو نوعند: اول عبارت های دارای ویژگی منطقی عام که از یک دستگاه توسعه یافته منطق ریاضی استنباط گشته اند و خود به عبارت های اولیه و عبارت های تعریف شده تقسیم می شوند و دوم عبارت هایی که برخلاف عبارت های نوع اول، اصطلاحات خاص فرازبان با ویژگی توصیفی ساختاری هستند و بنابر این نام علامت ها و عبارت های زبان حساب مجموعه ها محسوب می شوند. به علاوه در فرازبان به نمادهایی نیازمندیم که به کمک آنها از متغیرهای فرازبان سخن بگوئیم. ساخت دستگاه اصول موضوعی در تاسیس فرانظریه نیز بدین گونه است که متناظر با دو نوع عبارت در فرازبان، دستگاه اصل موضوعی فرازبان نیز شامل دو نوع اصل موضوعه کاملاً متمایز خواهد بود: اصول موضوعه منطقی عام که برای یک دستگاه نسبتا فراگیر منطق ریاضی کافی است و اصول موضوعه خاص فرازبان که توصیف کننده برخی از خواص ابتدایی مفاهیم توصیفی ساختاری بوده و با دریافت شهودی ما سازگار هستند.

حال می توان با استفاده از عبارت ها و نمادهایی که در فرازبان برشمرده شد به تعریف آن مفاهیمی پرداخت که حساب مجموعه ها را به یک علم استنتاجی صوری شده مبدل می کند. آن مفاهیم عبارتند از: مفهوم جمله، اصل موضوعه، نتیجه و جمله اثبات پذیر، اما مقدم بر تعریف آن ها لازم است تعدادی از نمادهای کمکی تعریف شوند که نشان گر انواع گوناگونی از عبارت های ساده هستند و معرفی مفاهیم مذکور را تسهیل می کنند. این نمادها عبارتند از: نمادهای شمول، نقیض، جمع منطقی، جمع منطقی یک دنباله n حدی محدود عطف، سور عمومی، تابع جمله ای و متغیر آزاد تابع جمله ای. و به کمک همه این مفاهیم می توان اصطلاحات: «دستگاه استنتاجی»، «سازگاری مجموعه یی از جملات»، «تمامیت مجموعه یی از جملات» و درنهایت «جملات هم ارز» را تعریف کرد.⁽²⁵⁾

5 5 5 2. تعریف صدق در زبان حساب مجموعه ها. اکنون می توان به مسئله اصلی خود پرداخت: آیا می توان تعریفی معناشناختی و کلی از «جمله صادق» در زبان حساب مجموعه ها ارایه کرد؟ تارسکی ابتدا نشان می دهد که جمله صادق در زبان یک علم استنتاجی صوری شده همان «قضیه اثبات پذیر» نیست. او از زاویه دیگری به تعریف جمله صادق نزدیک می شود. توضیح او از این قرار است:⁽²⁶⁾

می دانیم که متناظر با هر جمله زبان حساب مجموعه ها، نه تنها یک نام توصیفی ساختاری برای آن جمله در فرازبان وجود دارد، بلکه جمله یی نیز با همان معنا وجود دارد. برای روشن کردن محتوا و مفهوم صدق در مورد جمله خاصی از زبان مورد نظر، می توانیم همان شیوه یی را که در صورت بندی T به کار بردیم، مورد استفاده قرار دهیم. (به جای × نام جمله را بگذاریم و به جای «P» ترجمه آن را در فرازبان قرار دهیم.)

تمام جملاتی که به این روش به دست می آیند، طبعا به فرازبان تعلق دارند و معنای عباراتی به شکل «× یک جمله صادق است» را توضیح می دهند. حال می توانیم با استفاده از نماد «Tr» به جای مجموعه همه جمله های صادق قرارداد زیر را ارائه دهیم:

قرارداد T. یک تعریف صحیح از لحاظ صوری برای نماد «Tr» که در فرازبان صورت بندی شده باشد، یک تعریف کافی از صدق خوانده می شود اگر دارای پیامدهای زیر باشد:

(a) تمام جملاتی که از عبارت «×eTr اگر و فقط اگر P» با قراردادن یک نام توصیفی ساختاری برای هر جمله یی از زبان مورد نظر به جای نماد «×» و قراردادن عبارتی که ترجمه آن جمله به فرازبان است به جای نماد «P» بدست می آیند؛

(b) جمله «به ازای هر ×، اگر ×eTr آنگاه ×eS» (به عبارت دیگرTr¸S ») حال می گوئیم: اگر زبان مورد نظر فقط شامل تعداد محدودی جمله باشد که از ابتدا درنظر گرفته شده اند، و اگر می توانستیم این جمله ها را بشماریم، آنگاه مسئله تعریف صدق با مشکلی مواجه نمی شود. بدین منظور کافی است طرح زیر را کامل کنیم:

×eTr اگر و فقط اگر یا 1×=× و 1P، یا 2×=× و 2P و یا ×n=× و Pn، که نمادهای «1×»، «2×»،...، «×n» توسط نام های توصیفی ساختاری تمام جمله های زبان مورد نظر جایگزین می شود و به جای «1P»، «2P»،...، «Pn» ترجمه های این جملات در فرازبان قرار می گیرند.

اما همیشه وضع این گونه نیست که زبان مفروض ما شامل جملات محدودی باشد. پس باید به زبان هایی بپردازیم که تعداد جملات آنها نامحدود باشد. در آن صورت تعریفی که مطابق طرح پیش گفته انجام پذیرد، از تعداد نامحدودی واژه تشکیل می شود و چنان جملاتی را نمی توان در فرازبان یا هر زبان دیگری صورت بندی کرد. در نتیجه کار ما بسیار پیچیده است.

آیا می توان از روش بازگشتی استفاده کرد؟ تارسکی ابتدا پاسخ منفی می دهد و استدلال می کند که: در روش بازگشتی جملات زبان را به ابتدایی و پیچیده تقسیم کرده و نحوه پیدایش جملات مرکب از جملات ساده را بازگو می کنیم و سپس طریقه وابستگی «صدق و کذب جمله های مرکب» به «صدق و کذب جمله های ساده» تعیین می شوند. اما مانعی جدی بر سر این راه وجود دارد: جملات مرکب به هیچ وجه عموما از جملات ساده ساخته نشده اند. توابع جمله یی از توابع ابتدایی نشأت می گیرند و جمله ها موارد خاص از توابع جمله یی هستند. بنابراین به هیچ وجه نمی توان جمله صادق را در زبان های دارای جملات نامحدود از طریق بازگشتی تعریف نمود.

با این همه تارسکی اضافه می کند که:

«به هرحال، این امکان به ذهن می رسد که بتوان یک تعریف عمومی تر را که در مورد هر تابع جمله یی به کار می رود، به طور بازگشتی ارائه داد و بدین ترتیب با به کار گرفتن آن درخصوص جملات، به مفهوم صدق رسید.⁽²⁷⁾

تارسکی در ادامه بحث همین شیوه را در پیش می گیرد؛ مطابق توضیح او استفاده از روش بازگشتی (با مبنا قرار دادن توابع جمله یی و نه جملات) زمانی میسر می گردد که مفهوم «صدق پذیری یک تابع جمله یی معین توسط اشیای معین» (و در این مورد مجموعه های معین از افراد) به خوبی ادراک گردد.

5 5 5 2 1. تعریف صدق پذیری. معنای معمولی این مفهوم را در کاربرد عادی با چند مثال روشن می کنیم:

1. در مورد یک تابع جمله یی معین که فقط دارای یک متغیر آزاد است وقتی می گوئیم «فلان شی ء این تابع جمله یی را صدق پذیر می کند» منظورمان چیست؟ برای توضیح طرح زیر را در نظر بگیرد:

به ازای هر a، a تابع جمله یی × را صدق پذیر می کند اگر و فقط اگر P.

حال به جای «P» تابع جمله یی داده شده را قرار می دهیم (البته بعد از قراردادن «a» به جای متغیر آزاد آن و به جای × یک نام منفرد برای این تابع.) بدین ترتیب در زبان محاوره یی می توانیم صورتبندی زیر را فراهم آوریم:

به ازای هر a، a تابع جمله یی «× سفید است» را صدق پذیر می کند اگر و تنها اگر a سفید باشد. (از این جا می توان نتیجه گرفت که برف تابع جمله یی «× سفید است» را صدق پذیر می کند.)

2. در موردی که تابع جمله یی دارای دو متغیر آزاد متمایز باشد هم، به شیوه ای کاملاً مشابه عمل می کنیم. فقط با این تفاوت که مفهوم «صدق پذیری» اینک نه به اشیای منفرد بلکه به جفت های مرتب اشیاء دلالت می کند. بدین ترتیب به صورت بندی زیر می رسیم:

به ازای هر a و b، a و b، تابع جمله یی «×، Y را می بیند» را صدق پذیر می کنند، اگر و فقط اگر a، b، را ببیند؛ به ازای هر a و b، a و b، تابع جمله یی 3و2ْl (یعنی × ¯ وI× ¨ ) را صدق پذیر می کند اگر و فقط a¸b.

3. سرانجام به حالت کلی می رسیم که در آن تابع جمله یی مورد نظر شامل تعداد دلخواهی متغیر آزاد است. می گوئیم، یک دنباله نامحدود از اشیای مفروض، یک تابع جمله یی مفروض را صدق پذیر می کند. اگر خود را به توابع حساب مجموعه ها محدود کنیم، آنگاه ارایه توضیح روشنی پیرامون این عبارت توسط این واقعیت که تمام متغیرهای موجود در زبان این علم، در یک دنباله مرتب گشته اند (شمارش شده اند)، تسهیل می شود.

در بررسی این پرسش که کدام دنباله ها یک تابع جمله یی معین را صدق پذیر می کنند، همواره یک تناظر یک به چند را میان برخی از حدود دنباله f و متغیرهای آزادِ تابع جمله یی مدّ نظر خواهیم داشت، که در آن به ازای هر متغیر، یک حدّ از دنباله با همان شاخص متناظر شده است. به طور کلی می توان طرح زیر را مد نظر داشت:

f تابع جمله یی × را صدق پذیر می کند اگر و تنها اگر f یک دنباله نامحدود از مجموعه ها باشد و P.

با داشتن هر تابع جمله یی از حساب مجموعه ها، مثلاً، S، به جای «×» در طرح مزبور، یک نام منفرد (توصیفی ساختاری) برای S قرار می دهیم که در فرازبان ساخته شده باشد؛ درعین حال به جای تمام متغیرهای آزاد S، نهادهای متناظر «fk» و «fl) و غیره را قرار می دهیم و به جای «P» در طرح پیش گفته، عبارتی را که بدین طریق از S به دست می آید می گذاریم (یعنی عبارتی که با ترجمه Sبه فرازبان فراهم می آید).

حال می توانیم برای تعریف کلی «صدق پذیر شدن یک تابع جمله یی توسط دنباله یی از مجموعه ها» از شیوه بازگشتی بهره بگیریم که تمام تعاریف جزئی این مفهوم را که از طریق طرح پیش گفته حاصل می گردند، به عنوان حالت های خاص دربر بگیرد.

بعد از این توضیحاتی به تعریف «صدق پذیری یک تابع جمله یی توسط اشیای معین» می پردازیم: تعریف:

«دنباله f تابع جمله یی × را صدق پذیر می کند، اگر و فقط اگر f یک دنباله محدود از مجموعه ها و ×یک تابع جمله یی باشد و اگر f و × به گونه یی باشند که یا:

(a) اعداد طبیعی K و l وجود داشته باشند به گونه یی که lوlK=× و fK¸fl؛

(b) تابع جمله یی y وجود داشته باشد به گونه یی که yÎ=× و f تابع y را صدق پذیر نکند؛

(g) توابع جمله یی y و × وجود داشته باشند به گونه یی که Z +y=× و fیا در y صدق کند یا در Z؛ یا سرانجام:

(d) یک عدد طبیعی K و یک تابع جمله یی y وجود داشته باشد به گونه یی که ْky=× و هر دنباله نامحدود از مجموعه ها که حداکثر به جای Kاُم از f متمایز است، y را صدق پذیر کند.

مفهوم صدق پذیری یک تابع جمله یی در بررسی های معناشناختی زبان اهمیّت بسزایی دارد و معانی تعداد فراوانی از مفاهیم معناشناختی را می توان به کمک آن مفهوم تعریف کرد. در ادامه بحث مفهوم صدق یا جمله صادق را به کمک مفهوم مزبور تعریف می کنیم.

5 5 5 2 2. تعریف صدق (یا جمله صادق). می توان دریافت که صدق کردن یا نکردن یک دنباله در یک تابع جمله ای فقط به حدودی از دنباله وابسته است که با متغیرهای آزاد تابع در تناظر باشد، لذا در حالتی که تابع جمله یی مذکور یک جمله است و هیچ متغیر آزادی ندارد، صدق پذیری تابع توسط دنباله، به خواص حدود دنباله بستگی ندارد. در آن صورت فقط دو امکان باقی می ماند:

اول: یا هر دنباله نامحدود از مجموعه ها، جمله مزبور را صدق پذیر می کنند.

دوم: یا هیچ دنباله یی در آن جمله صادق نیست.

جمله اول صادق و جمله دوم کاذب خوانده می شود.

تعریف جمله صادق: «× یک جمله صادق است به طور نمادین ×eTr اگر و فقط اگر ×eS و هر دنباله نامحدود از مجموعه ها × را صدق پذیر کند.»

در درستی صوری تعریف مذکور شکی نیست ولی آیا از لحاظ محتوایی هم، حداقل به معنایی که قبلاً در «قرارداد T» مطرح شد، درست است؟

پاسخ مثبت است. تعریف مذکور یک تعریف عام (کافی) از صدق به معنایی که در قرارداد Tآمده می باشد. چراکه نتایج آن شامل تمام لوازم قرارداد است. تعداد این نتایج نامحدود و اثبات آن تعریف مستلزم ساخت یک ابزار استدلالی کاملاً جدید است که ترجیحا وارد آن نمی شویم.⁽²⁸⁾

خلاصه رأی تارسکی

جان کلام تارسکی آن است که (با صرف نظر از زبان محاوره یی که هرگونه تلاش برای تعریف مفهوم صدق و جملات صادق در آن به پارادوکس منتهی می شود) اگر از معنای کلی صادق بودن جمله در یک زبان صوری شده خاص پرسش کنید، می توان معنای آن را توضیح داد اما نمی توان یک تعریف کلی و عام برای صدق جملات در هر زبان صوری شده ارائه کرد. مراحل دستیابی به مفهوم جمله صادق (در یک زبان صوری شده خاص) به اختصار تمام چنین است که:

ابتدا باید در مورد هر زبان صوری شده خاص یک فرازبان و یک فرانظریه را که حیطه ویژه تحقیق را تشکیل دهد، معین ساخت. سپس با کامل شدن فرانظریه باید به تشخیص توابع جمله یی و به ویژه جمله ها از بقیه عبارت های زبان پرداخت و به دنبال این کارهای مقدماتی است که می توانیم تکلیف اصلی مان یعنی تعریف جمله صادق را در دستور کار قرار دهیم. تارسکی توضیح می دهد که شیوه ساخت این مفهوم مستلزم تعریف مفهوم دیگری است که در پژوهش های معناشناختی زبانی اهمیت بسزایی دارد. یعنی مفهوم «صدق پذیر شدن یک تابع جمله یی توسط دنباله یی از اشیا» برای تعریف صحیح «صدق پذیری» باید از تعریف بازگشتی بهره گرفت. بدین منظور کافی است با رجوع به تعریف بازگشتی تابع جمله یی و معنای شهودی توابع جمله یی ابتدایی و اعمال بنیادی دو موضوع را روشن کنیم:

اول اینکه چه دنباله هایی توابع بنیادی را صدق پذیر می کنند؟ و دوم آنکه رفتار مفهوم صدق پذیری هنگام به کار بردن هریک از اعمال بنیادی چگونه است؟ یا به بیان دقیق تر با فرض اینکه می دانیم کدام دنباله ها توابع جمله یی مورد نظر را صدق پذیر می کنند، می خواهیم بدانیم، کدام دنباله ها توابع جمله یی به دست آمده از آن ها را با به کارگیری یکی از عمل های بنیادی صدق پذیر می کنند.

به محض آنکه توانستیم معنای دقیق صدق پذیری را دریابیم، تعریف صدق کار چندان دشواری نخواهد بود:

«جملات صادق جملاتی هستند که هر دنباله دلخواهی از اشیاء آن ها را صدق پذیر می کنند.» اما دریافت معنای «صدق پذیری» چندان آسان نیست و در این خصوص گاه با موانع بنیادی برخورد می کنیم. توضیح سرشت معضلات و موانع مزبور مستلزم بحث درباره مفهوم مقوله معناشناختی است. تارسکی تذکر می دهد که از دیدگاه ساختار منطقی، زبان های نوع اول (نظیر زبان حساب مجموعه ها) ساده ترین زبان ها هستند و تعریف صدق پذیر شدن یک تابع جمله یی توسط دنباله یی از اشیاء و نیز تعریف جمله صادق در این زبان مشکلی ایجاد نمی کند. مشکلات فقط هنگامی ظاهر می شوند که زبان های بغرنج تر (مثلاً نوع دوم و سوم و چهارم را درنظر بگیریم.⁽²⁹⁾

چنان که پیدا است تعریف جمله صادق با همه اجزا و ترتیبی که دارد، در محدوده فرازبان صورت می پذیرد و اگر مرزی و میْزی میان آن با زبان صوری شده موضوعی رسم نمی گردید، تعریف مفهوم صدق محال بود.