هندسه نا اقلیدسی ، انقلابی پارادایمی در ریاضیات

چکیده
تصویر کوهن از سیر تحول یک علم را می توان به وسیلة طرح بی پایان زیر خلاصه کرد :
پیش علم - علم عادی - بحران - انقلاب - علم عادی جدید - بحران جدید
ویژگی عمدة نظریة وی تأکیدی است که بر ممیزة انقلابی تحولات علمی دارد؛ به طوری که طبق آن ، انقلاب متضمن طرد و رد یک ساختار نظری و جانشینی ساختار ناسازگاری دیگر است . ویژگی مهم دیگر، نقش پراهمیتی است که ممیزات جامعه شناختی جوامع علمی در نظریة کوهن ایفا می کند. از زمان انتشار کتاب ساختار انقلابهای علمی همواره این پرسش مطرح بوده که آیا تصویر کوهن از تاریخ علوم طبیعی در مورد ریاضیات نیز به کار بردنی است . به نظر می رسد پاسخ منفی باشد؛ زیرا واضح است که طبیعت ریاضیات از مهم ترین ویژگی تصویر کوهن از توسعة یک علم , یعنی "انقلاب " پیروی نمی نماید. در این مقاله سعی شده تا نشان داده شود که گذر از هندسة اقلیدسی به هندسة نااقلیدسی انقلابی کوهنی در ریاضیات است. البته این بدان معنا نیست که تمامی مقوّمات تصویر کوهن عیناً در حوزة ریاضیات صادق است ؛ بلکه دو ویژگی مهم آن , یعنی ممیزة انقلابی تحول علمی و ممیزة جامعه شناختی علم , درحوزة معرفت ریاضی نیز صدق می نماید. به عبارت دیگر, انقلاب کوهنی در ریاضیات واقعاً امکان پذیر است , هرگاه ما با یک پارادایم کوهنی در ریاضیات سروکار داشته باشیم که مورد پذیرش جامعة علمی قرار گرفته باشد. تغییر این پارادایم , انقلاب کوهنی را در پی خواهد داشت .
واژگان کلیدی : پارادایم , هندسه نااقلیدسی, قیاس ناپذیری , انقلاب کوهنی, کوهن مقدمه
در تصویر کوهن از شیوة تحول یک علم ، پارادایم مشتمل است بر مفروضات کلی تئوریک ، قوانین ، فنون ، کاربردها و ابزارآلات که اعضای جامعة علمی خاصی را بر می گیرند. پژوهشگران درون یک پارادایم ، خواه مکانیک نیوتنی باشد؛ خواه علم الابصار موجی و یا شیمی تحلیلی و یا هر چیزی دیگر به امری مشغول اند که کوهن آن را "علم عادی " می نامد. کوشش دانشمندان عادی جهت تبیین و تطبیق رفتار برخی از چهره های مربوط به هم عالم طبیعت که به واسطة نتایج آزمایش آشکار گردیده ، پارادایم را تفصیل و توسعه می بخشد. ضمن این کار، آنها لاجرم مشکلاتی را تجربه خواهند کرد و با مشاهدات خلاف انتظار یا اعوجاجهای آشکاری مواجه خواهند شد. اگر مشکلاتی از آن نوع را نتوان فهم و رفع نمود, وضعیتی "بحرانی " به وجود خواهد آمد. بحران هنگامی مرتفع خواهد شد که پارادایم کاملاً جدیدی ظهور نماید و مورد حمایت روزافزون دانشمندان واقع شود تا جایی که پارادایم مسأله انگیز اولیه در نهایت مطرود شود. پارادایم جدید، حاوی نویدهایی است و مشکلات ظاهراً فایق نیامدنی ندارد و از این پس , فعالیت علمی عادی جدید را هدایت می کند تا اینکه آن نیز با مشکلاتی جدی رو به رو شود و بحران جدیدی بزاید که به دنبال آن , انقلاب جدیدی ظاهر شود. به نظر "چالمرز" ویژگی عمدة چنین طرح بی پایانی دربارة تحول یک علم ،"تأکیدی است که بر ممیزة انقلابی پیشرفتهای علمی دارد؛ به طوری که طبق آن , انقلاب متضمن طرد و رفض یک ساختار نظری و جانشینی ساختار ناسازگار دیگری باشد". (چالمرز، 1374، ص 13).
به طوری که کوهن پارادایم های پیش و پس از انقلاب را "قیاس ناپذیر" می داند. معمولاً گمان می شود در زمان یک انقلاب علمی ، معیارهایی که دانشمندان در ارزیابی رجحان یک نظریه بر نظریة رقیب استفاده می نمایند، عبارت اند از: "دقت پیش بینی به ویژه پیش بینی کمّی ، توازن بین موضوعات روزمره و غامض ، و تعداد مسائل مختلف حل شده " (kuhn;1970,p.206), اما کوهن معتقد است معیارهایی از این قبیل ارزشهای جامعة علمی را تشکیل می دهند و شیوه هایی که این ارزش ها به مدد آن تعیین می شود "باید در تحلیل نهایی ، روان شناختی یا جامعه شناختی باشد؛ به عبارت دیگر، باید توصیف یک نظام ارزشی یا یک ایدئولوژی باشد, همراه با تحلیلی از نهادهایی که به واسطة آنها آن نظام انتقال و استحکام می یابد" (lakatos and musgrave; 1970, p.21) "هیچ معیاری بالاتر از موافقت جامعة مربوطه نیست " (kohn; 1970, p.94) کوهن این ادعا را با مثالهایی از تاریخ علم در حوزه هایی همچون فیزیک ، نجوم و شیمی درکتاب ساختار انقلابهای علمی بیان می کند. پرسشی که مطرح می گردد این است که آیا این گونه تحول را درحوزه های دیگر علوم نیز می توان دید؟ در این میان , ریاضیات از اهمیت بسزایی برخوردار است ؛ زیرا معمولاً تصور می شود که ریاضیات صرفاً یک سری مدلهای مجرد منطقی به همراه علایم صوری است که به دور از ویژگیهای روانی و شخصیتی ریاضی دانان و خصوصیات و تعلقات جامعه ای که در آن زندگی می کنند، در ذهن ریاضی دان شکل می گیرد و هنگامی که در جامعة ریاضی مطرح می شود، ریاضی دانان به دور از تعلقات گروهی ، اجتماعی و تعهدات متافیزیکی که متأثر از نوع نگرش جامعه ای است که در آن زندگی می کنند، به ارزیابی آن می پردازند و باتوجه به معیارهایی چون پیروی از اصول منطق و سازگاری میان اصول موضوعه و قضایا، دربارة صحت و سقم آن تصمیم می گیرند. همچنین ریاضی دانان انسانهایی معقول اند که تنها به صحت و درستی منطقی یک ساختار ریاضی می اندیشند و اگر نظریه ای ریاضی این شرط را برآورده نماید, مورد پذیرش جامعة ریاضی قرار خواهد گرفت . در این مقاله سعی شده با ارائة نمونه ای از تاریخ هندسه , یعنی انقلاب نااقلیدسی ، اولاً پارادایمی بودن هندسة اقلیدسی در مدت بیش از دو هزار سال _ از یونان باستان تا قرن نوزدهم _ نشان داده شود و ثانیاً اعوجاج بودن اصل توازی برای پارادایم هندسه اقلیدسی در این دوران بررسی گردد و نشان داده شود که چگونه این اعوجاج سرانجام به بحرانی در این حوزه در اوایل قرن نوزدهم می انجامد و نهایتاً انقلاب نااقلیدسی را در پی می آورد. ثالثاً نشان داده می شود که چگونه جامعة ریاضی دانها براساس ارزشها، باورها و تعهدات متافیزیکی خود, در رویارویی با هندسة جدید, واکنشی خصمانه بروز می دهند و چگونه سرانجام شهرت و اعتبار ریاضی دانی که از هندسه نااقلیدسی حمایت می کند - ونه صرفاً سازگاری منطقی هندسه نااقلیدسی - سبب پذیرش هندسة جدید می گردد. 1 اصول (Elements)
سدة چهارم پیش از میلاد, مسیح ناظر شکوفایی آکادمی علوم و فلسفة افلاطون بود. تقریباً تمامی کارهای مهم ریاضی این دوره به وسیلة دوستان یا شاگردان افلاطون انجام شده است. تأثیر افلاطون بر ریاضیات ، معلول هیچ یک از کشفیّات ریاضی وی نبوده است؛ بلکه به سبب این اعتقاد شورآمیز وی بود که مطالعة ریاضیات عالی ترین زمینه را برای تعلیم ذهن فراهم می آورد و از این رو, در پرورش فیلسوفان و کسانی که باید دولت آرمانی وی را اداره می کردند، نقش اساسی داشت . از نظر وی "ریاضیات وضع واسطه ای بین صور و اشیا دارند "و " صفات محسوس اجسام به ساختمان هندسی ذرات آنها بستگی دارد. این ساختمان هندسی به وسیلة ساختمان سطوح آنها متعین می شود و ساختمان سطوح آنها بوسیلة ساختمان دو نوع مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه و قائم الزاویه مختلف الاضلاع ، که از آنها ساخته شده اند."(کاپلستون ، 1368, ص 225). از این رو هندسه برای او اهمیت بسیار داشت . این اعتقاد، شعار معروف او را بر سر در آکادمی اش توجیه می کند: «کسی که هندسه نمی داند داخل نشود».
اقلیدس یکی از شاگردان مکتب افلاطون بود. وی سعی کرد ریاضیاتی را که توسط فیثاغورسیان شروع شده بود و بعداً بقراط ، ائودوکسوس ، تئاتیتوس و دیگران مطالبی به آن افزوده بودند، در کتابی به نام اصول گردآوری نماید. ارزش عمدة این اثر در گزینش ماهرانة قضایا و دادن ترتیب منطقی به آنهاست . اقلیدس در اصول سعی کرد تا نمونه ای از تفکر اصل موضوعی را ارائه نماید. برای اینکه گزاره ای در یک دستگاه قیاسی اثبات شود، باید نشان داد که این گزاره پیامد منطقی لازم چند گزاره است که قبلاً به اثبات رسیده اند. گزاره های اخیر نیز خود باید به کمک گزاره هایی که قبلاً اثبات شده اند ثابت شوند و به همین ترتیب تا آخر. چون این تسلسل را نمی توان به طور نامحدود ادامه داد، در ابتدای امر، باید مجموعة محدودی از گزاره ها پذیرفته شوند. این گزاره های بدواً پذیرفته شده , "پوستولاها" یا "اصول موضوعه" مبحث نامیده می شوند و تمام گزاره های دیگر مبحث باید به طور منطقی به وسیلة آنها ایجاب شوند. وقتی که گزاره های یک مبحث بدین صورت منظم شوند، گفته می شود که مبحث در شکل اصل موضوعی عرضه شده است . یکی از مهم ترین کارهای اقلیدس در کتاب اصول, بیان هندسه در قالب یک سیستم اصل موضوعی بود. در ساختن چنین سیستمی یک سری اصطلاحات هندسی همچون "نقطه " و "خط " به کار می رفتند که وی نهایت سعی خود را به کار گرفت تا همة این اصطلاحات را تعریف نماید. مثلاً او نقطه را "چیزی که هیچ جزء ندارد" و "خط " را "طولی بدون پهنا" تعریف نمود. همچنین او "خط مستقیم " را چنین تعریف می نماید: "خطی که به نحوی هموار بر نقاطی که برخود آن هستند قرار داشته باشد".
پنج اصل معروف وی در باب هندسه عبارت اند از:
اصل اول : از هر نقطه می توان خط مستقیمی به هر نقطة دیگر کشید.
اصل دوم : هر پاره خط مستقیم را می توان روی همان خط بطور نامحدود امتداد داد.
اصل سوم : می توان دایره ای با هر نقطة دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعی مساوی هر پاره خط رسم شده از مرکز آن ترسیم کرد.
اصل چهارم : همة زوایای قائمه با هم مساوی اند.
اصل پنجم : اگر خط مستقیمی دو خط مستقیم را قطع کند, به طوری که مجموع زوایای داخلی یک طرف آن کمتر از دو قائمه باشد، این دو خط مستقیم ، اگر به طور نامحدود امتداد داده شوند، در طرفی که دو زاویه مجموعاً از دو قائمه کمترند، همدیگر را قطع خواهند کرد.
اقلیدس با استفاده از این تعاریف و اصول , کلیه قضایای هندسی را ثابت کرد. ج . جیکسترویز (E.J.Dijksterhuis) در کتاب ارزشمند مکانیکی کردن تصویر جهان (The Non-Euclidean Revolution) صفحات 50 تا 52 سه عامل مهم را بیان می کند که سبب پذیرش و اقبال شگفت آور به کتاب اصول شد. وی معتقد است اولاً, اقلیدس در مقالة چهارم کتاب اصول , بیان استادانه ای از نظریة ائودوکسوس در مورد تناسب ارائه می نماید. این نظریه قابل استفاده در کمیت های نامتوافق و متوافق , "رسوایی منطقی " ناشی از کشف اعداد ناگویا به وسیلة فیثاغورس را حل کرد که یکی از دستاوردهای مهم ریاضیات یونانی بود و الگویی برای ارائة راه حلهای مسائل دیگر قرار گرفت . ثانیاً, ریاضیات یونانی فاقد نمادهای مناسب ریاضی بود. آنها از حروف برای نمایش اعداد استفاده می کردند و معادلات جبری را با پرگویی بسیار بیان می کردند. اقلیدس در مقالة پنجم اصول که نظریة ائودوکسوس دربارة تناسب را در هندسه مسطحه به کار می برد، راه حل هندسی برای معادلات درجة دوم ارائه می کند. این روش هندسی بسیار مختصر و موجزتر از روشهای جبری بود که با پرگویی های بسیار همراه بود. ثالثاً, از همة مهم تر نوع نگرش حاکم بر حوزة ریاضیات و فلسفه بود. این حوزه ها به شدت تحت تأثیر فلسفه افلاطون بودند. مطابق نگرش وی , هندسه دربارة "مثل " عالم بالا صحبت می کند. اگر ما در مواردی در زندگی روزمره , ناگزیر به استفاده از نمایش اشکال هندسی هستیم , تنها برای تذکر به آن مثل می باشد. افلاطون چنان مقامی برای هندسه قائل بود که وقتی در رسالة منون برای وضوح بخشیدن به یکی از آرای خویش , یعنی نظریة تذکر، به ریاضیات توسل می جوید، از قضیه ای استفاده می نماید که قابل نمایش هندسی است . این عوامل سبب شد به محض اینکه اصول پدید آمد, نهایت توجه را به خود جلب کرد؛ به طوری که هاورد. و. ایوز (Howard W.Eves) مورخ ریاضی امریکایی ، اصول را یکی از خط سیرهای مهم تکامل ریاضیات در یونان می داند. وی می گوید: "در تکامل ریاضیات طی 300 سال اول ریاضیات یونانی, سه خط سیر مهم و متمایز را می توان تشخیص داد؛ ابتدا، بسط مطالبی است که مآلاً در اصول مدون شد... خط سیر دوم, شامل بسط مفاهیمی است در رابطه با بی نهایت کوچکها... و سومین مسیر تکامل , مربوط به هندسه عالی یا هندسة منحنی هایی به جز دایره و خط مستقیم و سطوحی غیر از کره و صفحه است » (ایوز، 1368، ص 101).
مقام رفیعی که هندسه به واسطة اصول و نگرش افلاطونی به ریاضیات یافت , چنان بود که تفکر علمی دانشمندان حوزه های علم الابصار و علم مکانیکی نیز عادتاً به کمک اشکال فضایی صورت می گرفت . 2 عصر هندسة اقلیدسی
در قرون وسطا, ریاضیات مجرد و بالاخص هندسه چندان توسعه ای نیافت . بلکه صرفاً به جنبه های علمی این موضوع که با تجارت و شهرسازی مربوط می شد اکتفا می گشت . اما در اواخر قرون وسطا کاوشهای ریاضی جان تازه ای گرفت . لئوناردو داوینچی در مکانیک و هیدرولیک و اپتیک ، آزمونهای وسیعی به عمل آورد، همة مسبوق بدین فرض که نتایج متقن را باید به زبان ریاضی بیان کرد و به نمایش هندسی باز نمود. در قرن بعد، یعنی قرن ظهور کتاب دوران ساز کپرنیک ، دیگر همة متفکران بزرگ در مکانیک و سایر علوم فیزیکی _ ریاضی به روش هندسی گردن نهاده بودند. تارتاگلیا در کتاب علم جدید (Tartaglia: Nova Scienza) خود، که به سال 1537 انتشار یافت ، همین روش را در حل مسألة سقوط اجسام و برد نهایی پرتابه ها به کار برد و ستی ونوس (Stevinus) (1630-1548) طرح خاصی را به کار گرفت تا به کمک خطوط هندسی ، نیرو و حرکت و زمان را مصور سازد.
در سده های پانزدهم و شانزدهم ، نمادهای جبری رواج یافتند؛ اما این سبب کاسته شدن از اوج و اعتبار هندسه نشد. برای نمونه , باید به کاوشهای ریاضی در این دو قرن که دربارة تئوری معادلات بود، اشاره نمود. این کاوشها دربارة یافتن روشهایی برای تبدیل و ساده کردن (Reduction) و حل معادلات درجة دوم و سوم بود. مثلاً پاچیولی (Pacioli) (متوفی به حدود سال 1510) بیشتر به دنبال آن بود که علم بالندة جبر را در تحقیق خواص اشکال هندسی به کار گیرد. مسائلی که با آنها سروکار داشت از این قبیل بود؛ شعاع دایره ای که در مثلثی محاط شده , چهار اینچ است ؛ قطعاتی از یک ضلع که در دو طرف نقطة تماس (دایره و مثلث ) قرار دارند, شش اینچ و هشت اینچ است ؛ طول دو ضلع دیگر را تعیین کنید. دانشجویان این روزگار، با یک معادلة سادة جبری مسأله را حل می کنند, ولی پاچیولی جز از طریق یک ترسیم پیچیدة هندسی , بدین منظور نائل نمی آمد و از جبر فقط برای محاسبة طول پاره خطهای منظور بهره می جست . به همین نحوه , برای حل معادلات درجة دوم و سوم نیز در قرن شانزدهم همواره از روشهای هندسی بهره می جستند. بال (Ball) نمونة دل پذیری را ذکر می کند که فی المثل کاردانوس (Cardanus) برای حل معادلة درجة سوم r =qx+ 3 x از چه راه پر مشقتی عبور می کرد (برت, صص35و 34).
رفته رفته امکانات وسیعی که در نمادهای جبری نهفته بود از قوه به فعل رسید و ریاضی دانان با روشهای پیچیده تر آشنایی یافتند، در عین اینکه هنوز هم به نمایش هندسی تحقیقات خویش متکی بودند. به زمان کاردانوس که می رسیم ، مسائل مبتلا به متفکران به درجه ای از غموض و ترکب می رسد که معادلات مربوط , محتاج تبدیلات و به خصوص ساده کردنهای مکرر، با حفظ مقدار اصلی می شوند و به زبان هندسی ، لازم می آید که اشکال مرکب را به اشکال ساده تر برگردانند، به طوری که یک دایره یا مثلث ساده, جانشین اشکال مرکب و متعدد گردد. این کار، غالباً کار پیچیده ای هم بود و از این رو طرحهای مکانیکی مختلفی تدبیر کرده بودند تا به کمک ریاضی دانان آید. گالیله در سال 1597 یک راهنمای هندسی منتشر کرد, متشکل از یک رشته قواعد مشروح برای تبدیل اشکال بی قاعده و یا ترکیب چند شکل باقاعده و تبدیل آنها به یک شکل با قاعده و اعمال این قواعد در حل مسائل خاصی چون به دست آوردن جذر اعداد، واسطة هندسی و امثال آنها. به کارگیری روشهای ساده کردن و تبدیل اشکال هندسی از مشخصات ریاضیات قرن شانزدهم است .
افلاطونی گری شایع و نیمه نهان آن عصر, جهان را جوهراً هندسی می دید و مقدمات بسیط و واپسین آن را ابعاض محدود فضا می دانست و کلاً آن را مجسم یک نظم هندسی ساده و زیبا می دانست . تمام متفکران عهد کهن و قرون وسطا, فضای هندسی و فضای واقعی عالم را یکی می دانستند. برای فیثاغوریان و افلاطونیان ، وحدت این دو فضا, خود نظریة ما بعد الطبیعی مهمی بود. دیگر مکتبها هم بر همین باور بودند، لیکن مدلولات کیهان شناختی آن را به طور شایسته مورد توجه قرار نمی دادند. نزد اقلیدس ، وحدت فضای فیزیکی و فضای هندسی جزو مسلمات بود. کتاب اول اصول ، اصلهای هشتم و دهم و نیز قضیة چهارم و کتاب یازدهم , قضایای سوم و هفتم و به خصوص کتاب دوازدهم ، قضیه دوم شاهدی بر این ادعا هستند. از این رو نجوم , شاخه ای از هندسه شمرده می شد و در واقع , آن را هندسة افلاک می دانستند. ادوین آرتور برت در کتاب ارزشمند مبانی مابعدالطبیعی علوم نوین معتقد است که همین تصور از نجوم , یکی از عوامل بسیار مهمی بود که کپرنیک را واداشت تا نظریة خورشید مرکزی را ارائه دهد: "حال که علم نجوم در اصل همان علم به هندسة افلاک دانسته می شد و حال که به روشهای هندسی ، معادلات جبری را ساده تر می کنند و یا به اشکال دیگری بر می گردانند، چه اشکالی دارد همین روشهای ساده کردن و تبدیل کردن را در علم نجوم هم به کار گیریم . اگر علم نجوم پاره ای از ریاضیات است , باید نسبت مقادیر ریاضی در آن هم جاری باشد؛ یعنی حرکاتی که بر روی نقشة سماوی به اجرام نسبت می دهیم , باید یکسره نسبی باشد و از لحاظ انطباق با واقع ، هر نقطه ای را بتوانیم به منزلة مرجع نظام فضایی خود برگزینیم . کپرنیک درست به همین شیوه ، هیأت جدید را براندیشید و نظام خورشید مرکزی را از آن جهت که ساده تر و موزون تر از نظام زمین مرکزی است برگزید (برت ، 1369، ص 38 و 40). این نگرش هندسی به هستی و تعهدات متافیزیکی متعاقب آن , هندسه را همچون پارادایمی حاکم بر پژوهشهای علمی و تحولات فکری فلسفی این عصر درآورده بود. این پارادایم به دانشمند می گفت که در مواجهه با مسائلی که در پژوهشهای خود با آن روبه رو می شوند، باید به جستجوی یافتن کدامین پاسخها باشند. پاسخهایی که بتوان آنها را در قالب مفاهیم و اصطلاحات هندسی صورت بندی نمود و با نظریة هندسة اقلیدسی متلائم کرد. گالیله می گفت : "در این کتاب بزرگ که همواره پیش چشم ماست ، یعنی کتاب طبیعت ، حکمت را نگاشته اند؛ لکن ما به درک آن نایل نمی شویم , مگر اینکه بدانیم به چه زبان و علایمی آن را نوشته اند. این کتاب را به زبان ریاضی نوشته اند و علایم آن هم عبارت است از مثلث ، دایره و سایر اشکال هندسی . بدون کمک این زبان و این علایم ، محال است که یک کلمه از این کتاب را دریابیم ؛ و بدون درک این کتاب ، آدمی در هزار تویی تاریک ، سرگردان و یاوه گرد خواهد شد» (برت ، 1369، ص 66).
با ظهور نیوتن , روشهای جبری تکامل قابل توجهی یافت . نیوتن با ابداع حساب مشتقات , ابزاری ساخت که همة هنرنمایی هایش قابل نمایش هندسی نبودند. از این رو، روشهای جبری را بیش از پیش توسعه داد. با وجود این , در بیان مفهوم "فضا و زمان " در فیزیک اش به یک نظام هندسی کامل معتقد بود.
پارادایم هندسة اقلیدسی ، پس از انقلاب علمی ، نه تنها دانشمندان , بلکه پژوهش فیلسوفان دربارة فضا و زمان را نیز به شدت تحت تأثیر قرار داد. از جملة این فیلسوفان می توان به دکارت ، مور، مالبرانش و برو اشاره نمود. این فیلسوفان قبل از نیوتن بودند. اما پس از وی ، کانت را می توان از مهم ترین فیلسوفانی دانست که افکارش دربارة فضا و زمان بر قوام هندسة اقلیدسی به عنوان تنها هندسة متصور برای جهان , بیش از پیش تأکید کرد.
کانت در پی حقایقی بود که زندگی روزانه انسانها بدون اعتقاد به آنها غیر ممکن است . این حقایق لزوماً حقایق منطقی نیستند. از نظر کانت , قضایای ترکیبی پیشین از جملة این حقایق اند و هندسة اقلیدسی مجموعه ای از قضایای ترکیبی پیشینی است دربارة ساختار مکانی که به ادراک در می آید. بنابراین اصول و قضایای هندسة اقلیدسی جزو حقایقی هستند که ما تنها بدان صورت جهان را ادراک می کنیم . ترودائو (Richard J. Trudeau) در کتاب انقلاب غیراقلیدسی (The Non-Euclidean Revolution) چنین می گوید: "کانت اظهار نمود که تنها تبیین همان است که اصول اقلیدس دربارة چگونگی پردازشگری داده های حسی ، داده هایی که فضای حقیقی را تشکیل می دهند، توصیف می نماید. فضای پردازش شده ، فضای مطالعه شده در هندسه ، تحت قلمرو اصول اقلیدس است ؛ زیرا اصول اقلیدس همان اصولی هستند که فضا به وسیلة آنها تشکیل شده است ! عدم توانایی ما در تردید در اصول اقلیدس ، انعکاسی از این حقیقت است که مغز ما به همان گونه ساخته شده که ما واقعاً قادر نیستیم دربارة فضا به روش دیگر فکر کنیم (trudeau ;1987,p.113).
اظهارات کانت و طرفداری وی از مفهوم فضا و زمان نیوتنی, سبب شد که این اعتقاد که تنها یک هندسه وجود دارد و آن هندسة اقلیدسی است ، تنها تفکر حاکم بر دانشمندان و فیلسوفان قرون هیجده و نوزده شود. 3 اصل توازی
اقلیدس اصل پنجم از اصول هندسة خود را چنین بیان می کند: "هرگاه خط راستی دو خط راست دیگر را قطع کند و مجموع زوایای درونی یک طرف آن خط از دو قائمه کمتر باشد، اگر این دو خط را بی نهایت امتداد دهیم ، سرانجام در همان طرفی که مجموع زوایا کمتر از دو قائمه است , یکدیگر را قطع می کنند". بیان دیگری از این اصل آن است که بگوییم که از هر نقطه غیر واقع بر یک خط, یک و فقط یک خط به موازات آن می توان رسم کرد. از این رو این اصل به اصل توازی هم مشهور است . اقلیدس خود به اصل بودن آن, اعتماد چندانی نداشت و این واقعیت مؤید آن است که او استفاده از آن را برای اثبات قضایا، تا آنجا که ممکن بوده - تا گزارة بیست و نهمش - به تعویق انداخته است . خود این اصل نیز، هم توسط یونانیان زمان اقلیدس و هم در سده های بعد, مورد تردید قرار گرفته است و عدة بسیاری سعی در اثبات آن از اصول پیشین داشته اند.
نخستین تلاشی که برای اثبات به عمل آمده ، توسط بطلمیوس بوده است . اما استدلال او به دور منجر می شد. پروکلوس (Proclus) (410 تا 485 بعد از میلاد)، که شرح او بر کتاب اصول یکی از منابع اصلی اطلاعات ما در زمینة هندسه یونان است ، از اصل توازی بدین گونه انتقاد کرده است : "این را باید حتی از شمار اصول موضوعه بیرون آورد؛ زیرا این قضیه ای است که دشواریهای زیادی در بر دارد و بطلمیوس در کتابی به گشودن آنها همت گمارده است ... این کلمه که ، چون دو خط را هرچه بیشتر امتداد دهیم بیش از پیش به هم نزدیک می شوند و سرانجام همدیگر را قطع می کنند، پذیرفتنی است ولی نه همیشه " (گرینبرگ ،1370، ص 124). پروکلوس هذلولی را مثال می زند که آن اندازه که بتوان تصور کرد, به مجانبهایش نزدیک می شود, بی آنکه هرگز آنها را قطع کند. او می گوید: "پس روشن است که باید برای این قضیه کنونی برهانی بیابیم و این مخالف ماهیت خاص اصل موضوعه است "(همان).
از مهم ترین تلاشهایی که بعدها برای اثبات اصل توازی به عمل آمده, از خواجه نصیرالدین طوسی (1274-1201) است . سپس جان والیس (John Wallis) (1703-1616) با بیان اصل موضوعة جدیدی به جای اصل پنجم (اصل توازی ), سعی در اثبات آن نمود. وی فکر می کرد که اصل موضوعة وی, قابل قبول تر از اصل توازی است . اما معلوم شد که اصل والیس و اصل پنجم اقلیدس منطقاَ هم عرض می باشند, سپس جیرو لامو ساکری (girolamo saccheri) (1733- 1667) در کتاب کوچکی به نام _ اقلیدس عاری از هرگونه نقص _ سعی در ارائة اثباتی با استفاده از برهان خلف برآمد. وی نقیض اصل توازی را پذیرفت و سپس سعی کرد تا تناقص را از آن نتیجه بگیرد. وی به ویژه بعضی از چهار ضلعیها را که زوایای مجاور به قاعده شان قائم و اضلاع این زوایا با هم قابل انطباِق اند, مورد مطالعه قرارداد.
سه حالت ممکن است پیش بیاید: 1 زاویه های بالایی قائم اند؛ 2 زاویه های بالایی منفرجه اند؛ 3 زاویه های بالایی حاده اند. برای اثبات حالت اول ، یعنی همان حالتی که در هندسة اقلیدسی هست ، ساکری (saccheri)کوشش کرد نشان دهد که دو حالت دیگر به تناقض منجر می شوند. او توانست نشان دهد که حالت دوم منجر به تناقض می شود؛ ولی هر اندازه کوشش کرد نتوانست تناقضی در حالت سوم به دست آورد و آن را "فرض خصمانة زاویه حاده " نامید. او موفق شد نتایج بسیار عجیبی بدست آورد، ولی تناقضی بدست نیاورد و سرانجام از روی عجز بانگ برآورد: "فرض زاویة حاده مطلقاً غلط است ، زیرا که این فرض با ذات خط مستقیم ناسازگار است !" به قول ماروین جی گرینبرگ : "درست شبیه مردی که الماس نایابی را کشف کرده باشد, ولی نتواند آنچه را می بیند باور کند و بانگ بر آورد که شیشه است !" (همان، ص 131).
تلاشهایی که برای اثبات اصل پنجم اقلیدس صورت گرفته بود, به اندازه ای زیاد بود که گ .ز.کلوگل (G. S. Klugel) در سال 1763 موفق شد رساله ای برای دکترا تهیه کند که در آن نقایص 28 برهان مختلف از اصل توازی را پیدا و در ثابت شدنی بودن آن اظهار تردید کند. دایرةالمعارف نویس و ریاضی دان فرانسوی ژ.ل .ر.دالامبر(J.L.R.d Alember) این وضع را "افتضاح هندسه " نامیده بود. اصل توازی همچون اعوجاجی در هندسة اقلیدسی بود. بیش از دو هزار سال ریاضی دانان تلاش می کردند که به گونه ای آن را مرتفع سازند, اما همواره با شکست روبه رو می شدند. ریاضی دانان به تدریج نومید می گشتند. فورکوش بویوئی(Bolyai) مجارستانی به پسرش یانوش نوشت : "تو دیگر نباید برای گام نهادن در راه توازیها تلاش کنی . من پیچ و خمهای این راه را از اول تا آخر آن می شناسم ، این شب بی پایان را که همة روشنایی و شادمانی زندگی مرا به کام نابودی فرو برده است سپری کرده ام . التماس می کنم که دانش موازیها را رها کنی . من در این اندیشه بودم که خود را در راه حقیقت فدا کنم . حاضر بودم شهیدی باشم که این نقص هندسه را مرتفع سازد و پاک شدة آن را به عالم بشریت تقدیم نماید. من زحمتی عظیم و سترگ کشیدم . آنچه را که من آفریدم به مراتب برتر از آفریدة دیگران است . ولی باز هم رضایت خاطر به دست نیاوردم ... وقتی دریافتم که هیچ کس نمی تواند به پایان این شب ظلمانی راه یابد، بازگشتم . بی تسلای خاطر بازگشتم ، در حالی که برای خود و بشریت متأسف بودم ... من مدتها در این دیار بوده ام و به تمامی صخره های جهنمی این دریای مرده سفر کرده ام و همیشه هم با دکل شکسته و بادبان پاره پاره برگشته ام . تباهی وضع و سقوط من به آن دوران باز می گردد. من از روی بی فکری زندگانی و خوشبخت ایم را به مخاطره افکندم " (همان، ص 132).
این ناکامیها نشانة بروز بحرانی جدی در پارادایم اقلیدسی بود. جالب آنکه ریاضی دانان که معمولاً تصور می شود به لحاظ نوع فعالیتی که انجام می دهند, افرادی منطقی اند به مدت بیش از دو هزار سال بر این فکر پای فشردند که اصل پنجم اقلیدسی ، اصلی وابسته به سایر اصول است و به رغم تلاشهای بی شمارشان در جهت اثبات آن که همواره با شکست مواجه می شد، هیچ گاه بدین فکر نیفتادند که شاید اصل توازی واقعاً یک اصل باشد؛ اصلی مستقل از سایر اصول . گرچه در این مدت عدة انگشت شماری با این تصور حاکم بر جامعة ریاضی مخالفت نمودند, اما جامعة ریاضی دانان هیچ گاه بدانها اجازه بروز نداد. تا اینکه در قرن نوزدهم چند تن از ریاضی دانان هم زمان به این موضوع اندیشیدند که شاید اصل اقلیدس اصلی مستقل از سایر اصول باشد. 4 انقلاب نااقلیدسی
یانوش بویوئی از اخطار پدر نهراسید؛ زیرا اندیشة کاملاً تازه ای را در سر می پرورانید. او فرض می کرد که نقیض اصل اقلیدس حکمی بی معنا نیست . وی در 1823 به پدرش چنین می نویسد:
"چیزهایی که کشف کرده ام به اندازه ای شگفت انگیزند که خودم حیرت زده شده ام و بدبختی جبران ناپذیری خواهد بود اگر اینها از دست بروند... در شرایط کنونی , تنها چیزی که می توانم بگویم این است که از هیچ ، دنیایی تازه و شگفت انگیز آفریده ام " (همانجا، ص 132). پدر یانوش کار وی را برای گاوس (Gauss) شاه زادة ریاضی دانها فرستاد. اما برخورد سرد گاوس موجب سرخوردگی یانوش شد؛ به گونه ای که هرگز به فکر انتشار پژوهش هایش نیفتاد.
اما شواهدی در دست است که گاوس پیش تر از بویوئی به برخی اکتشافات هندسه نااقلیدسی دست یافته بوده است . در 1817 گاوس به و.البرس (W. Olbers) نوشت : "دارم بیش از پیش متقاعد می شوم که لزوم اینکه هندسه ما باید اقلیدسی باشد، دست کم نه با عقل آدمی و نه برای عقل آدمی ، نمی تواند اثبات شود. شاید در حیاتی دیگر بتوانیم بینش درونی از ماهیت فضا به دست آوریم که اکنون دست یافتنی نیست " (همان، ص 149). وی در نامه ای دیگر در 1824 به ف .آ. تاورینوس (F.A. Taurinus) می گوید: "پذیرفتن اینکه مجموع سه زاویه کمتر از180 باشد, به هندسة شگفت انگیزی منجر می شود که با هندسة اقلیدسی ما به کلی متفاوت ، اما کاملاً سازگار است و من آن را بسط داده ام و کاملاً از آن راضی هستم ... همة تلاشهای من برای یافتن یک تناقض یا یک ناسازگاری در این هندسه نااقلیدسی به شکست انجامیده است ... چنین به نظر می رسد که به رغم گفته های خردمندمآبانة حکمای مابعدالطبیعه ، باید گفت که ما دربارة ماهیت واقعی فضا بسیار کم می دانیم ، یا بهتر بگویم اصلاً نمی دانیم تا بگوییم که فلان امر مطلقاً غیر ممکن است , فقط به این دلیل که غیرعادی به نظر می رسد" (همان، ص 151).
وی در جای دیگری از نامه اش می نویسد: "پروا ندارم از اینکه آنچه گفتم , مورد سوء تعبیر کسانی واقع شود که به ظاهر ذهن ریاضی اندیشی دارند؛ ولی درهرحال ، این را به عنوان یک نامة خصوصی تلقی کنید که به هیچ وجه مورد استفادة عمومی یا مورد استفاده ای که به نحوی صورت تبلیغ پیدا کند، قرار نگیرد. شاید خودم در آینده ، هنگامی که نسبت به امروز, فراغت بیشتری دست دهد، بررسی هایم را منتشر سازم " (همان)، اما گاوس هیچ گاه آثار خود را منتشر ننمود، چرا؟
منظور گاوس از "حکمای مابعدالطبیعه " در نامه اش ، پیروان کانت بودند. کشف هندسة نااقلیدسی به دست گاوس ، این نظر کانت را که فضای اقلیدسی ذاتی ساختار ذهن ماست ، رد می کرد. از آنجا که فلسفة کانت در اواخر سدة هیجدهم و بیشتر سدة نوزدهم در سراسر اروپا رواج داشت ، اظهارات گاوس می توانست منجر به کشمکشها و حملات فراوانی به وی گردد. از این رو, گاوس از علنی ساختن آثار انقلابی اش عملاً بیمناک بود. باید توجه کرد که گاوس یک ریاضی دان معمولی زمان خویش نبود؛ او کسی بود که لئویولد کرونکر (Kronecker) درباره اش چنین می گوید: "تکامل تدریجی و توسعة منظم دانش حساب و تقریباً تمام آنچه در ریاضیات قرن ما (نوزدهم ) انجام گرفت , در خط سیر افکار بدیعی بوده است که به وسیلة گاوس داده شد" (بنقل از تمپل بل ، 1363، ص 250).
هاورد ایوز (Howard W.Eves)نیز وی را چنین توصیف می کند:"قرون هیجدهم و نوزدهم در زیر سیطرة ریاضی پر صلابت کارل فریدریش گاوس ، همچون گسترة خلیج رودس در زیر پای تندیس عظیم آپولون قرار دارد." وی را عموماً بزرگ ترین ریاضی دان قرن نوزدهم و همراه با ارشمیدس و نیوتن ، یکی از بزرگ ترین ریاضی دانان همة اعصار برشمرده اند" (ایوز، 1368، ص 167). اهمیت علمی گاوس تا بدان درجه است که وی شهزادة ریاضی دانان نامیده شده است . با وجود این اعتبار علمی ، گاوس در برابر جامعه ای که غرق در هندسة اقلیدسی بود، جرأت اظهار نظرهایش را نداشت .
تصور عموم از ریاضی دانان چنان است که آنها هر نظریة ریاضی را با معیار و ملاک منطق ، درستی استدلالها و سازگاری آن می سنجند و در صورتی که نظریه ای واجد این شرایط باشد, در برابر آن سر تسلیم فرود می آورند. اما به نظر می رسد که پذیرش و مقبولیت یک نظریه در یک جامعة علمی بستگی دارد به این که برای جامعة مورد نظر چه چیزی مهم باشد و یا به چه امری ارزش بنهد. برای جامعة ریاضی قرن نوزدهم که نه تنها هندسة اقلیدسی را تنها تبیین کنندة عالم هستی می دانست , بلکه شیوة ادراک ما از عالم هستی را به صورت هندسة اقلیدسی می دانست ، تنها مسائلی که برایش مهم بودند، قوام بخشیدن به این هندسه و رفع مشکلات آن بود. واضح است که در این صورت , بیان هندسة دیگری نمی توانست از منزلت چندانی برخوردار باشد و اعتراضات شدیدی را در پی داشت . این بدان معنا نیست که پیروی از منطق و سازگاری یک نظریة ریاضی در پذیرش آن مورد توجه ریاضی دانان قرار نمی گیرد؛ بلکه متذکر این نکته است که منطق تنها عامل پذیرش یک نظریه نیست؛ بلکه تعلقات متافیزیکی جامعة علمی نیز درآن مؤثر است و گاهی این تأثیر بسیار عمیق تر از تأثیر عوامل منطقی و ریاضی است ؛ به طوری که ریاضی دان شهیری مثل گاوس , بیم بیان نظرهایش را دربارة هندسه نااقلیدسی دارد. حتی نیکلای لباچفسکی (Lobachevsky) که در سال 1829 جرأت انتشار مقاله اش در باب هندسة نااقلیدسی را یافت، نتوانست توجه جامعة علمی را بخود جلب کند. حال این پرسش مطرح می شود که سرانجام ، چگونه هندسه نااقلیدسی مورد پذیرش قرار گرفت ؟ جالب ترین نکتة این داستان در اینجاست که تا وقتی مکاتبات گاوس پس از مرگ او در سال 1855 منتشر نشده بود، جهان ریاضی هندسة نااقلیدسی را جدی نگرفت . یعنی آنچه که سبب مقبولیت هندسه نااقلیدسی شد، شهرت ریاضی همان گاوسی بود که خودش جرأت انتشار آثارش دربارة هندسه نااقلیدسی را نداشت . همین شهرت سبب شد عده ای از بهترین ریاضی دانان , همچون بلترامی (Beltrami) ، کلاین (Klein) ، پوانکاره (Poincare) و ریمان (Rieman)موضوع را جدی گرفتند و بسط دادند و آن را در شاخه های دیگر ریاضیات به کار بردند و همین سبب مقبولیت هندسة نااقلیدسی شد. آنچه که در پذیرش هندسة نااقلیدسی نقشی تعیین کننده ای ایفا کرد, این سخن پر بصیرت و ژرف کوهن بود که در گزینش میان نظریه های علمی "هیچ میزانی بالاتر از توافق جامعة مربوطه وجود ندارد" (kuhn;1970,p.94). و این میزان وابسته به ارزشها و معیارهای فرامعرفتی آن جامعه است . در 1868 بلترامی برای آخرین بار مسألة اثبات اصل توازی را پیش کشید و ثابت کرد که اثبات آن غیر ممکن است ! او این کار را از این راه که هندسه نااقلیدسی درست مثل هندسة اقلیدسی ، هندسه ای سازگار است ، اثبات نمود. همچنین در سال 1854 ریمان با گذاشتن اصل دیگری بجای اصل توازی ، هندسه جدیدی را بنا نهاد. در این هندسه , از یک نقطه غیر واقع بر یک خط هیچ خط, موازی با آن خط نمی گذارد. 5 هندسه پیش و پس از انقلاب نااقلیدسی
پس ازانقلاب نااقلیدسی ، مسألة اصل توازی که بیش از دوهزار سال در هندسة اقلیدسی مسأله ای جدی بود, به کلی از میان رفت و با جانشینی اصول دیگری , هندسه های نوینی ابداع شد. از آنجا که هندسه های نااقلیدسی از بطن هندسة اقلیدسی سر برآوردند, بسیاری از اصول و قضایای هندسه اقلیدسی حفظ شدند؛ اما برخی دیگر از اصول و قضایای آن یا به کلی از میان رفتند و یا نقیض آنها در هندسه های جدید پدیدار گشتند. خطی که در هندسه های اقلیدسی و لباچفسکی با یک نقطه به دو بخش تقسیم می شوند در هندسة ریمانی به دو بخش تقسیم نمی گردند. خطوط موازی که در هندسة اقلیدسی , هم فاصله اند, در هندسة لباچفسکی هرگز هم فاصله نیستند و در هندسة ریمانی اصلاً خطوط موازی وجود ندارند. اگر خطی یکی از دو خط موازی را قطع کند، در هندسة اقلیدسی باید دیگری را نیز قطع نماید, در حالی که در هندسة لباچفسکی ممکن است قطع کند یا قطع نکند و در هندسة ریمانی چون خطوط موازی وجود ندارند، این موضوع مطرح نمی گردد. دو خط متمایز عمود بر یک خط در هندسة اقلیدسی و لباچفسکی موازیند, در حالی که در هندسة ریمانی همدیگر را قطع می کنند. مجموع زوایای یک مثلث در هندسة اقلیدسی برابر با 180درجه , در هندسة لباچفسکی کمتر از 180درجه و در هندسة ریمانی بیشتر از180درجه است . مساحت یک مثلث در هندسة اقلیدسی مستقل از مجموع زوایای آن است , در حالی که در هندسة لباچفسکی متناسب باکاهش زوایای مثلث ودر هندسة ریمانی متناسب با افزایش زوایای مثلث است .
پس از انقلاب نااقلیدسی و نشان دادن سازگاری تمام هندسه های نااقلیدسی , این سؤال مهم مطرح شد که کدام یک از این هندسه ها معرف یا حکایتگر جهان طبیعی است که ما در آن زندگی می کنیم ؟ یا به عبارتی دیگر, کدام یک از این هندسه ها درست اند؟ هانری پوانکاره (1912-1854م.), ریاضی دان و فیزیک دان فرانسوی به این پرسش چنین پاسخ داد:
"اصول موضوعة هندسی نه شهودهای ترکیبی پیشینی هستند و نه حقایق تجربی ؛ بلکه قرارداد هستند. تنها انتخاب ما از میان همة قراردادهای ممکن به وسیلة حقایق تجربی رهبری می شود. ولی انتخاب ما آزاد است و فقط به لزوم اجتناب از هرگونه تناقض محدود می شود. بنابراین این اصول اند که می توانند دقیقاً درست باقی بمانند. حتی اگر قوانین تجربی که موجب پذیرفته شدن آنها شده اند, تقریبی باشند. به عبارت دیگر, اصول موضوعة هندسه , تنها عبارت اند از تعاریف در لباس مبدل . پس دربارة این پرسش که " آیا هندسة اقلیدسی درست است ؟" چه باید اندیشید؟ پرسش بی معنا است ، درست مثل اینکه بپرسیم آیا دستگاه متری درست است و اوزان و مقیاسهای قدیم نادرست اند؟ آیا مختصات دکارتی درست و مختصات قطبی نادرست اند؟... هیچ هندسه ای نمی تواند درست تر از هندسة دیگر باشد؛ تنها ممکن است مناسب تر باشد" (به نقل از گرینبرگ ، 1370، ص 124). پرسش فوق و بحث متعاقب آن ، بر این موضوع که هندسه و به طور کلی ریاضیات ، از چه سخن می گوید, پرتوی تازه افکند. هندسه از پرتوهای نور صحبت نمی کند، ولی مسیر یک پرتو نور ممکن است تعبیر مادی از اصطلاح هندسی تعریف نشدة "خط " باشد. سبب این است که برخی از اصطلاحات اولیه از قبیل نقطه ، خط و صفحه تعریف نشده اند و ممکن است به جای آنها اصطلاحات دیگری بگذاریم بی آنکه در درستی نتایج تأثیری داشته باشد. از این رو هیلبرت (Hilbert) , بزرگ ترین ریاضی دان قرن بیستم , کتاب مبانی هندسه (Foundation of Geometry) خود را با این "تعریف " آغاز می کند: "سه مجموعه از چیزهای جدا از هم را در نظر بگیرید. فرض کنید اشیای مجموعة اول نقاط نامیده شوند و با C,B,A و... نشان داده شوند. فرض کنید اشیای مجموعة دوم خطوط نامیده شوند و با c,b,a و... نمایش داده شوند. فرض کنید اشیای مجموعة سوم صفحات نامیده شوند و با a, b, d و..... نمایش داده شوند"(brown;1999, p.95). همچنین از او نقل شده است که می گفته : "آدمی باید همیشه به جای نقطه و خط و صفحه بتواند میز و صندلی و لیوان آبجو بگوید" (گرینبرگ ، ماروین جی ، 1370، ص 57) در واقع , به جای اینکه بگوییم : "دو نقطه فقط یک خط را مشخص می کنند", می توانیم بگوییم : " A و B فقط یک a را مشخص می سازند "با وجود تغییری که در اصطلاحها داریم , باز هم اثبات همة قضایای ما معتبر خواهند ماند؛ زیرا دلیلهای درست به شکل و نمودار بسته نیستند, بلکه فقط به اصول موضوعه ای که وضع شده اند و به قواعد منطق بستگی دارند. بنابراین هندسه , تمرینی است کاملاً صوری برای استخراج برخی نتایج از بعضی مقدمات صوری . ریاضیات احکامی می سازد به صورت "هرگاه چنین باشد، آنگاه چنان می شود" و اساساً در آن صحبتی از معنای فرضها یا راست بودن آنها نیست . مفاهیم اولیه از قبیل خط و نقطه که در فرضها ظاهر می گردند, به طور ضمنی به وسیلة این اصول موضوعه ، که درحکم قواعد بازی هستند و انگار بما می گویند چگونه باید بازی کرد، تعریف می شوند. این دیدگاه , که هیلبرت اولین بار ادعاهایی در این باره در کتاب مبانی هندسه اش بیان نمود, بعدها منجر به پیدایش مکتب صورت گرایی در ریاضیات شد. مطابق این مکتب ، ریاضیات با دستگاههای نمادی صوری سروکار دارد. در واقع ، ریاضیات مجموعه ای از آن مباحث مجرد تلقی می شود که در آن, اصطلاحات صرفاً نمادهایی هستند و احکام ، قواعدی (اصول ) متضمن این نمادها. ریاضیات عاری از محتوای ملموس و تنها شامل عناصر نمادی آرمانی است . پرواضح است که دیدگاه صورت گرایی با عقیدة کهن تری که ریاضیات را "حقیقت محض " می پنداشت و از زمان اقلیدس تا قرن نوزدهم بر ریاضیات ، فیزیک و نجوم سایه افکنده بود و پژوهشهای عالمان این حوزه ها را هدایت می کرد و کشف هندسة نااقلیدسی بنای آن را به کلی فرو ریخت ، اساساً ناسازگار است . پس از انقلاب نااقلیدسی , ریاضی دانان آزاد بودند که هر مجموعه ای از اصول موضوعه را که دلشان بخواهد ابداع کنند و بر آنها نتایجی مترتب سازند. ژان دیودونه در این باره چنین می گوید: "در تاریخ ریاضیات این کشف نقطة عطف بسیار مهمی بود که اولین مرحله را در مفهوم تازه ای از رابطة بین جهان واقعی و مفهوم های ریاضی که گمان می رود به آن مربوط اند, نشان می داد"با کشف گاوس دربارة هندسه نااقلیدسی این دیدگاه نسبتاً ضعیف که اشیای ریاضی تنها "مثل " (به معنا افلاطونی ) اشیای محسوس اند, دیگر نگه داشتنی نبود و تدریجاً جای خود را به دریافتی روشن تر از پیچیدگی خیلی بیشتر مسأله داد که در آن , امروز چنین به نظر می رسد که ریاضیات و واقعیت تقریباً به طور کامل از هم مستقل شده اند و تماس آنها اسرار آمیزتر از همیشه شده است " (همان، ص 254).
به طور کلی , پس از انقلاب نااقلیدسی , نه تنها اصول و مفاهیم هندسه به کلی تغییر نمودند, بلکه مفهوم هندسه و به طور عام تر, ریاضیات پیش و پس از انقلاب , اساساً تفاوت پیدا کردند. به طوری که اگر دانشجوی ریاضی زمان حاضر آثار ریاضی پیش از انقلاب نااقلیدسی را مطالعه کند، با افرادی مواجه می شود که به جای پرداختن به مدلهای ریاضی و هندسی ، در مورد ریاضیات و هندسه به گونه ای حرف می زنند که گویا از ویژگیها دنیای واقعی صحبت می کنند و چه بسا از نظر این دانشجو, این گفته ها بسیار سخیف و بیهوده آید؛ به طوری که وی برای درک ریاضیات و هندسة پیش از انقلاب نااقلیدسی باید نوع و نگرش خود به ریاضیات و هندسه را تغییر دهد که در این صورت مشاهده خواهد کرد که ریاضیات و هندسه پیش و پس از انقلاب نااقلیدسی قیاس ناپذیرند. 6 نتیجه
شاید به نظر برسد که چون ریاضیات ، برخلاف علوم طبیعی مثل فیزیک ، نجوم و شیمی ، با مشاهدات تجربی در تماس نیست ؛ هیچ گاه با اعوجاج و بحران مواجه نخواهد شد؛ اما همان طور که دیدیم , اعوجاج در ریاضیات از نوع دیگری است ؛ مثلاً تردید دربارة اصل بودن اصل توازی همچون اعوجاجی در هندسه آشکار شد و با مقاومت در برابر کوششهای ریاضی دانان جهت اثبات آن , جامعة ریاضی دانان را با بحران مواجه نمود.
اما نکته بسیار مهم این است که این اعوجاج و بحران در پی آن در بنیادی ترین سطح هندسه به طرد هندسة اقلیدسی نیانجامید؛ بلکه به مدت بیش از دو هزار سال, تسلط خود را نه تنها بر هندسه, بلکه به علوم دیگر مثل نجوم ، فیزیک و حتی فلسفه حفظ نمود. چرا؟ زیرا اگر هندسه دانان ، هندسة اقلیدسی را به سبب اعوجاجی که در اصول بنیانی اش بود، رها می کردند، هیچ نظریة جانشینی نداشتند. در این صورت , تکلیف فعالیت پژوهشی آنها در هندسه چه می شد؟ همین تعلقات حرفه ای سبب شد که هندسة اقلیدسی بیش از دو هزار سال تنها پارادایم حاکم در حوزة ریاضیات باشد. زمانی که بویوئی ، گاوس و لباچفسکی هندسة جدید را مطرح کردند، نظریة رقیبی برای هندسة اقلیدسی ظاهر شده بود که می توانست جانشین آن شود. همین ، موجبات انقلاب نااقلیدسی را فراهم نمود. اما دیدیم که تغییر حمایت از پارادایم اقلیدسی به نااقلیدسی از جانب یکایک ریاضی دانان ناشی از برهانهای صرفاً منطقی دربارة سازگاری هندسی نااقلیدسی نبود؛ زیرا جامعة ریاضی قرن نوزدهم به مدت 26 سال از زمانی که لباچفسکی آن را منتشر کرد تا زمان مرگ گاوس از این برهانها آگاهی داشت , اما هیچ گاه آن را جدی نگرفت . آنچه سبب پذیرش هندسة نااقلیدسی شد, عاملی بود ورای استدلالهای ریاضی و آن اینکه شخصی همچون گاوس شهزادة ریاضی دانان , در نامه هایش از آن طرفداری کرده بود. در واقع , ریاضی دانان نیز همچون "دانشمندان به دلایل گوناگون طرفدار پارادایم جدید می شوند و معمولاً در آن واحد بنابر وجود چند دلیل چنین می کنند. بعضی ازاین دلایل - مثلاً خورشیدپرستی که کپلر را یکی از کوپرنیکیان ساخت - کاملاً در خارج قلمرو آشکار علم قرار دارد. بعضی دیگر وابسته به مزاج شخص و زندگی نامه و شخصیت اوست - حتی ملیّت یا شهرت سابق شخص نوآور و استادان وی گاه می تواند نقش مؤثر ایفا کند" (kuhn;1970, pp.152,153). شهرت و اعتبار گاوس سبب شد که تعدادی از بهترین ریاضی دانان که مرجعیت جامعة ریاضی به عهده شان بود، از هندسة نااقلیدسی حمایت کنند و این سبب پذیرش این هندسه شد. به قول چالمرز (A.F. Chalmers): "انقلاب علمی عبارت است از طرد یک پارادایم و قبول پارادایمی جدید، نه از سوی یک دانشمند به تنهایی ؛ بلکه از سوی جامعة علمی مربوطه در تمامیت آن " (چالمرز، 1374، ص 117).
بنابراین آنچه توسط استقرارگرایان و ابطال گرایان به عنوان منطق اکتشافات علمی گفته می شود، باید به طور جدی مورد تجدیدنظر قرار گیرد؛ زیرا همان طور که دیدیم , عملکرد دانشمندان و حتی ریاضی دانان در رسیدن به نظریه های علمی جدید، رفتاری کاملاً بشری است که ما می توانیم در حوزه های دیگر زندگی شان ببینیم . همان طور که هری کالینز (Harry Collins) و ترور پینچ (Trevor Pinch) دو جامعه شناس علم معاصر، می گویند: "آنچه پژوهشهای موضعی ما نشان می دهد, این است که هیچ منطق اکتشاف علمی وجود ندارد و یا بلکه اگر چنین منطقی وجود دارد، آن منطق ، منطق زندگی روزمره است " (pinch; 1993, p.142). منابع :
1_ ایوز، هاورد و، (1368)، آشنایی با تاریخ ریاضیات، ج اول ، چ دوم (محمد قاسم وحیدی اصل /مترجم )، تهران : نشر دانشگاهی (تاریخ انتشار اثر به زبان اصلی 1976)
2_ برت ، ادوین آرتور (1369)، مبانی ما بعد الطبیعی علوم نوین (عبدالکریم سروش / مترجم ) تهران : علمی و فرهنگی.
3_ تمپل بل ، اریک (1363)، ریاضی دانان نامی ،چاپ دوم (حسن صفاری / مترجم ) تهران : امیرکبیر.
4_ چالمرز، آلن ف (1374)، چیستی علم (سعید زیبا کلام / مترجم )، تهران : علمی و فرهنگی (تاریخ انتشار اثر به زبان اصلی 1982).
5_ کاپلستون ، فردریک (1368)، تاریخ فلسفه ، یونان و روم (سید جلال الدین مجتبوی / مترجم )، تهران : سروش (تاریخ انتشار اثر به زبان اصلی 1971).
6_ گرینبرگ ، ماروین جی (1370)، هندسه های اقلیدسی و نااقلیدسی ،چ سوم (م .ه - شفیعیها مترجم ) تهران : نشر دانشگاهی (تاریخ انتشار اثر به زبان اصلی 1979).
7_ Brown, James Robert. (1999) Philosophy of Mathematics An. Introduction to the World of Proofs and Pictures, Routledge
8_ Dijksterhuis, E. J. (1986) The Mechanization of the World Picture: Pythagoras to Newton, Princeton University Press.
9_ Lakatos and Musgrave (1970) Criticism and the Growth of knowledge,Cambridge University Press.
10_ Kuhn, Thomas S. (1970) The Structure of Scientific Revolutions,(2d ed), Chicago: University of Chicago Press.
11_ Pinch, Trevor and Collins, Harry (1993) The Golem: What Every one should know about Science, Cambridge, Cambridge U,P.
12_ Trudeau, Richard J(1987)’ The Non-Euclidean Revolution’ Birkhauser Boston. پی نوشت:
1_ مربی پژوهشگاه علوم انسانی و مطالعات فرهنگی